10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir? Test 1

Bir matematik öğrencisi, bir bilgisayar programında karmaşık bir trigonometrik ifadeyi basitleştirmek istemektedir. Öğrencinin basitleştirmesi gereken ifade $\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)}$ şeklindedir. Bu ifadeyi en sade haliyle doğru bir şekilde yazan öğrenci, aşağıdaki seçeneklerden hangisini elde eder?

A) $\sin x$
B) $\cos x$
C) $\tan x$
D) $\cot x$

Merhaba arkadaşlar, trigonometri sorusunu adım adım çözelim:

• Adım 1: İfadeyi yazalım
• İfademiz: $\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)}$
• Adım 2: Trigonometrik özdeşlikleri hatırlayalım
• $\cos(2x)$ için iki farklı özdeşliğimiz var:
  • $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$
  • $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$
• $\sin(2x)$ için özdeşliğimiz: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
• Adım 3: $\cos(2x)$ yerine uygun özdeşliği yerleştirelim
• Amacımız, paydadaki $\sin(2x)$ ile sadeleşebilecek bir ifade elde etmek. Bu nedenle $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ özdeşliğini kullanmak daha mantıklı olacaktır.
• İfade şu hale gelir: $\frac{1 - (1 - 2\sin^2(x))}{2\sin(x)\cos(x)}$
• Adım 4: İfadeyi sadeleştirelim
• Paydaki ifadeyi açalım: $\frac{1 - 1 + 2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}$
• Sadeleştirelim: $\frac{2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}$
• 2'ler sadeleşir: $\frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}$
• $\sin(x)$ sadeleşir: $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
• Adım 5: Sonuca ulaşalım
• $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

Cevap C seçeneğidir.