10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir? Test 1

\( \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \) olduğuna göre, \( \sin^2x - \cos^2x \) ifadesinin değeri kaçtır?

A) \( \frac{1}{2} \)
B) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
C) \( \frac{1}{4} \)
D) \( \frac{1}{3} \)

Bu soruyu çözmek için trigonometri bilgilerimizi kullanacağız. Öncelikle verilen ifadeyi inceleyelim ve ardından istenen ifadeyi elde etmeye çalışalım.

• Adım 1: Verilen İfadeyi Basitleştirme

Verilen ifade \( \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \). Bu ifade aslında \( \tan x = \sqrt{3} \) demektir. Hangi açının tanjantı \( \sqrt{3} \) 'e eşittir? Trigonometri tablosunu hatırlayalım. \( x = \frac{\pi}{3} \) (veya 60 derece) bu denklemi sağlar. Ancak periyodik olduğunu unutmayalım, yani \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) (k bir tam sayı) şeklinde de olabilir.

• Adım 2: \( \sin x \) ve \( \cos x \) Değerlerini Bulma

Şimdi \( \sin x \) ve \( \cos x \) değerlerini bulalım. \( x = \frac{\pi}{3} \) için:

• \( \sin x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos x = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)
• Adım 3: İstenen İfadeyi Hesaplama

Şimdi \( \sin^2x - \cos^2x \) ifadesinin değerini hesaplayalım:

• \( \sin^2x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)
• \( \cos^2x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

Dolayısıyla, \( \sin^2x - \cos^2x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) olur.

• Adım 4: Genel Çözümü Düşünme

Eğer \( x = \frac{\pi}{3} + \pi \) olsaydı (yani 240 derece), \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \cos x = -\frac{1}{2} \) olurdu. Bu durumda:

• \( \sin^2x = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)
• \( \cos^2x = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

Yine \( \sin^2x - \cos^2x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) olurdu. Yani sonuç değişmez.

Sonuç olarak, \( \sin^2x - \cos^2x \) ifadesinin değeri \( \frac{1}{2} \) 'dir.

Cevap A seçeneğidir.