Negatif Sayıların Karekökü Neden Yoktur? Test 2

Karekök fonksiyonu $f(x) = \sqrt{x}$ şeklinde tanımlandığında, bu fonksiyonun gerçek sayılardaki görüntü kümesi nedir?

A) Tüm gerçek sayılar
B) Pozitif gerçek sayılar
C) Negatif olmayan gerçek sayılar
D) Sadece pozitif tam sayılar

Karekök fonksiyonunun görüntü kümesini bulmak için, bu fonksiyonun nasıl çalıştığını ve hangi değerleri alabileceğini adım adım inceleyelim.

• Fonksiyonun Tanımı: Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x}$ şeklindedir. Bu, $x$ sayısının karekökünü aldığımız anlamına gelir.
• Gerçek Sayılarda Karekök Alma Koşulu (Tanım Kümesi): Gerçek sayılar kümesinde bir sayının karekökünü alabilmemiz için, karekök içindeki sayının (yani $x$'in) negatif olmaması gerekir. Başka bir deyişle, $x \ge 0$ olmalıdır. Bu, fonksiyonun tanım kümesidir. Örneğin, $\sqrt{-4}$ gerçek bir sayı değildir.
• Karekök İşleminin Sonucu (Görüntü Kümesi İçin Temel): Matematikte $\sqrt{x}$ sembolü, $x$'in negatif olmayan karekökünü ifade eder. Bu, "esas karekök" veya "ana karekök" olarak bilinir.

  Örnekler:

  $\sqrt{0} = 0$

  $\sqrt{1} = 1$

  $\sqrt{4} = 2$

  $\sqrt{9} = 3$

  $\sqrt{0.25} = 0.5$

  $\sqrt{2} \approx 1.414$

  Gördüğümüz gibi, karekök alma işlemi sonucunda elde ettiğimiz değerler asla negatif değildir. En küçük değeri $0$'dır.

• Görüntü Kümesinin Belirlenmesi:

  Tanım kümesi $x \ge 0$ olduğundan, $x$ yerine sadece negatif olmayan gerçek sayıları koyabiliriz. Karekök işlemi de tanım gereği negatif olmayan bir sonuç ürettiğinden, $f(x)$ değerleri de her zaman negatif olmayan sayılar olacaktır. Yani, $f(x) \ge 0$ olmalıdır. Bu, $f(x)$'in $0$ veya $0$'dan büyük tüm gerçek sayıları alabileceği anlamına gelir.

• Seçeneklerin Değerlendirilmesi:

  A) Tüm gerçek sayılar: Yanlış, çünkü $f(x)$ negatif değerler alamaz. Örneğin, $\sqrt{x}$ asla $-5$ olamaz.

  B) Pozitif gerçek sayılar: Yanlış, çünkü $f(x)$ değeri $0$ da olabilir (örneğin $f(0) = \sqrt{0} = 0$). Pozitif sayılar kümesi $0$'ı içermez.

  C) Negatif olmayan gerçek sayılar: Doğru. Bu ifade, $0$ ve tüm pozitif gerçek sayıları kapsar, yani $f(x) \ge 0$ koşulunu sağlar.

  D) Sadece pozitif tam sayılar: Yanlış, çünkü $f(x)$ ondalıklı sayılar da olabilir (örneğin $f(2) = \sqrt{2} \approx 1.414$) ve $0$ da olabilir.

Bu nedenle, karekök fonksiyonu $f(x) = \sqrt{x}$'in gerçek sayılardaki görüntü kümesi, negatif olmayan gerçek sayılardır.

Cevap C seçeneğidir.