Bir dağ yamacındaki kar kütlesinin erime hızı \( V(t) = 500 - 20t^2 \) fonksiyonu ile modellenmiştir (t: gün, V: m³). Buna göre 4. günde kar kütlesinin anlık değişim oranı kaç m³/gündür?
A) -160Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dağ yamacındaki kar kütlesinin erime sürecini inceleyeceğiz. Bize bir fonksiyon verilmiş ve belirli bir zamandaki anlık değişim oranını bulmamız isteniyor.
Öncelikle verilen fonksiyonu ve bilgileri dikkatlice inceleyelim. Kar kütlesinin erime hızı $V(t) = 500 - 20t^2$ fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada $t$ gün cinsinden zamanı ifade eder ve $V$ birimi $m^3$ olarak verilmiştir. $V$'nin biriminin $m^3$ olması, $V(t)$'nin aslında kar kütlesinin hacmini (veya eriyen miktarı) temsil ettiğini düşündürmektedir. Çünkü bir hızın birimi $m^3/gün$ gibi olmalıdır. Dolayısıyla, $V(t)$ kar kütlesinin hacmini gösteren bir fonksiyon olarak kabul edip, bizden bu hacmin anlık değişim oranını bulmamız istendiğini anlayabiliriz.
Soru bizden 4. günde kar kütlesinin anlık değişim oranını bulmamızı istiyor. Bir fonksiyonun anlık değişim oranını bulmak için o fonksiyonun türevini alıp, istenen $t$ değerini yerine koyarız. Bu, kar kütlesinin hacminin zamana göre ne kadar hızlı değiştiğini (eridiğini) gösterecektir.
Şimdi $V(t)$ fonksiyonunun türevini alalım:
$V(t) = 500 - 20t^2$
Türev kurallarını hatırlarsak, sabit bir sayının türevi $0$'dır ve $at^n$ şeklindeki bir terimin türevi $ant^{n-1}$'dir.
$V'(t) = \frac{d}{dt}(500) - \frac{d}{dt}(20t^2)$
$V'(t) = 0 - (20 \times 2t^{2-1})$
$V'(t) = -40t$
Bulduğumuz $V'(t)$ fonksiyonu, kar kütlesinin hacminin $t$ anındaki anlık değişim oranını (erime hızını) temsil eder. Şimdi 4. gündeki anlık değişim oranını bulmak için $t=4$ değerini $V'(t)$ fonksiyonunda yerine yazalım:
$V'(4) = -40 \times 4$
$V'(4) = -160$
Bu sonuç, 4. günde kar kütlesinin hacminin $160 \ m^3/gün$ hızla azaldığını (eridiğini) gösterir. Negatif işaret, hacmin azaldığı anlamına gelir.
Cevap A seçeneğidir.
