Bir şirketin kar fonksiyonu \( K(x) = -0.1x^2 + 50x - 200 \) olarak verilmiştir (x: üretim miktarı, K: bin TL). Buna göre 100 birimlik üretim seviyesinde kârın anlık değişim oranı kaç bin TL/birimdir?
A) 20Bir şirketin kar fonksiyonu verildiğinde, belirli bir üretim seviyesindeki kârın anlık değişim oranını bulmak için fonksiyonun türevini almamız ve bu türev fonksiyonunda ilgili üretim miktarını yerine koymamız gerekir. Anlık değişim oranı, o noktadaki eğimi veya değişim hızını ifade eder.
1. Adım: Kar Fonksiyonunu Anlama ve Anlık Değişim Oranının Ne Anlama Geldiğini Belirleme
Bize verilen kar fonksiyonu: $K(x) = -0.1x^2 + 50x - 200$. Burada $x$ üretim miktarını, $K$ ise karı (bin TL cinsinden) göstermektedir.
Kârın anlık değişim oranı, kar fonksiyonunun üretim miktarına ($x$) göre türevinin alınmasıyla bulunur. Bu türev, marjinal kar fonksiyonu olarak da adlandırılır ve üretimin bir birim artırılması durumunda karın ne kadar değişeceğini gösterir.
2. Adım: Kar Fonksiyonunun Türevini Alma
Türev alma kurallarını hatırlayalım:
Şimdi $K(x) = -0.1x^2 + 50x - 200$ fonksiyonunun türevini alalım:
$K'(x) = \frac{d}{dx}(-0.1x^2) + \frac{d}{dx}(50x) - \frac{d}{dx}(200)$
$K'(x) = -0.1 \cdot (2x^{2-1}) + 50 \cdot (1x^{1-1}) - 0$
$K'(x) = -0.2x + 50x^0$
$K'(x) = -0.2x + 50$
Bu, karın anlık değişim oranını veren türev fonksiyonumuzdur.
3. Adım: Belirtilen Üretim Seviyesinde Türev Değerini Hesaplama
Soruda bizden 100 birimlik üretim seviyesinde kârın anlık değişim oranını bulmamız isteniyor. Bu durumda, türev fonksiyonumuzda $x$ yerine $100$ yazmalıyız:
$K'(100) = -0.2(100) + 50$
$K'(100) = -20 + 50$
$K'(100) = 30$
4. Adım: Sonucu Yorumlama
Elde ettiğimiz $30$ değeri, 100 birimlik üretim seviyesinde kârın anlık değişim oranını göstermektedir. Birimi bin TL/birimdir. Bu, 100 birim üretim yapıldığında, üretimi bir birim daha artırmanın karı yaklaşık olarak 30 bin TL artıracağı anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
