Bir yüzme havuzundaki su seviyesinin değişim hızı \( h(t) = 2t^2 - 8t + 6 \) fonksiyonu ile modellenmiştir (t: saat, h: cm). Buna göre 3. saatte su seviyesinin anlık değişim oranı kaç cm/saattir?
A) 2Sevgili öğrenciler, bu problemde bir yüzme havuzundaki su seviyesinin değişim hızı ile ilgili bir fonksiyon verilmiş ve belirli bir anda bu değişimin oranını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Soruda "su seviyesinin değişim hızı $h(t) = 2t^2 - 8t + 6$ fonksiyonu ile modellenmiştir" denilmektedir. Ancak, genellikle bu tür problemlerde "anlık değişim oranı" sorulduğunda, verilen fonksiyonun (eğer konum veya miktar ise) türevi alınır. Eğer $h(t)$ zaten değişim hızı olsaydı, $h(3)$'ü bulmamız gerekirdi ki bu da $0$ sonucunu verir. Seçeneklerde $0$ olmadığı ve doğru cevabın $4$ olduğu belirtildiği için, sorudaki $h(t)$ fonksiyonunun aslında su seviyesinin kendisini (konumunu) temsil ettiği ve bizden bu su seviyesinin anlık değişim oranını (yani hızını) bulmamız istendiği varsayılmalıdır. Bu durumda, $h(t)$'yi su seviyesi fonksiyonu olarak kabul edip, anlık değişim oranını bulmak için türevini almamız gerekmektedir.
Su seviyesi fonksiyonumuz $h(t) = 2t^2 - 8t + 6$ olarak kabul edildiğinde, anlık değişim oranını (hızı) bulmak için bu fonksiyonun zamana ($t$) göre türevini almalıyız. Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını verir.
$h'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 6)$
Türev kurallarını uygulayalım:
$2t^2$'nin türevi: $2 \times 2t^{2-1} = 4t$
$-8t$'nin türevi: $-8 \times 1t^{1-1} = -8t^0 = -8$
$6$'nın (sabit terim) türevi: $0$
Böylece, anlık değişim oranı fonksiyonu (hız fonksiyonu) $h'(t) = 4t - 8$ olur.
Şimdi, 3. saatteki ($t=3$) anlık değişim oranını bulmak için $h'(t)$ fonksiyonunda $t$ yerine 3 yazalım:
$h'(3) = 4(3) - 8$
$h'(3) = 12 - 8$
$h'(3) = 4$
Buna göre, 3. saatte su seviyesinin anlık değişim oranı $4$ cm/saattir.
Cevap B seçeneğidir.
