Bu soruda, bir üreticinin toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları verilmiş olup, bizden marjinal kar fonksiyonunu bulmamız istenmektedir. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Kar Fonksiyonunu ($P(x)$) Bulalım:
- Kar fonksiyonu, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla elde edilir. Formülü $P(x) = R(x) - C(x)$ şeklindedir.
- Verilen fonksiyonlar şunlardır:
- Toplam Gelir Fonksiyonu: $R(x) = 100x - 0.5x^2$
- Toplam Maliyet Fonksiyonu: $C(x) = 50x + 200$
- Şimdi bu fonksiyonları kar formülünde yerine yazalım:
- $P(x) = (100x - 0.5x^2) - (50x + 200)$
- Parantezleri açarken işaretlere dikkat edelim:
- $P(x) = 100x - 0.5x^2 - 50x - 200$
- Benzer terimleri birleştirelim ($x^2$ terimleri, $x$ terimleri ve sabit terimler):
- $P(x) = -0.5x^2 + (100x - 50x) - 200$
- $P(x) = -0.5x^2 + 50x - 200$
- Bu, üreticinin kar fonksiyonudur.
- 2. Marjinal Kar Fonksiyonunu ($P'(x)$) Bulalım:
- Marjinal kar fonksiyonu, kar fonksiyonunun $x$'e göre türevidir. Yani, $P(x)$ fonksiyonunun türevini almamız gerekmektedir.
- Türev kurallarını hatırlayalım: $ax^n$ teriminin türevi $anx^{n-1}$'dir ve sabit bir sayının türevi $0$'dır.
- $P(x) = -0.5x^2 + 50x - 200$ fonksiyonunun türevini alalım:
- $P'(x) = \frac{d}{dx}(-0.5x^2) + \frac{d}{dx}(50x) - \frac{d}{dx}(200)$
- Her bir terimin türevini ayrı ayrı hesaplayalım:
- $\frac{d}{dx}(-0.5x^2) = -0.5 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = -1x = -x$
- $\frac{d}{dx}(50x) = 50 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 50x^0 = 50 \cdot 1 = 50$
- $\frac{d}{dx}(200) = 0$ (çünkü 200 bir sabittir)
- Şimdi bu türevleri birleştirelim:
- $P'(x) = -x + 50 - 0$
- $P'(x) = 50 - x$
- Bu, aradığımız marjinal kar fonksiyonudur.
Bulduğumuz $50 - x$ ifadesi seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
