6. sınıf Kuvvetin Etkisinde Hareket özet ve tekrar Test 2

Kütlesi 5 kg olan bir cisim, sürtünmesiz eğik düzlemde 37° açıyla yerleştirilmiş düzlemin tepesinden serbest bırakılıyor. Eğik düzlemin yüksekliği 10 metre olduğuna göre, cisim eğik düzlemin altına ulaştığında hızı kaç m/s olur? (g = 10 m/s², sin37° = 0,6)

A) 10
B) 12
C) 14
D) 16

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, sürtünmesiz bir eğik düzlemde serbest bırakılan bir cismin, düzlemin altına ulaştığındaki hızını bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde, sürtünme olmadığı için mekanik enerjinin korunumu ilkesini kullanmak bize büyük kolaylık sağlar. Çünkü enerji kaybı yaşanmaz ve cismin başlangıçtaki potansiyel enerjisi, eğik düzlemin altına indiğinde tamamen kinetik enerjiye dönüşür.

• Verilenleri Belirleyelim:

  Cismin kütlesi ($m$) = $5 \text{ kg}$

  Eğik düzlemin açısı ($\theta$) = $37^\circ$ (Bu bilgi, enerji korunumunu kullanacağımız için doğrudan gerekli olmayacak, ancak eğik düzlemin geometrisini tanımlar.)

  Eğik düzlemin yüksekliği ($h$) = $10 \text{ m}$

  Yerçekimi ivmesi ($g$) = $10 \text{ m/s}^2$

  Cisim serbest bırakıldığı için başlangıç hızı ($v_0$) = $0 \text{ m/s}$

  Sürtünmesiz ortam.

• Hangi İlkeyi Kullanacağız?

  Sürtünme olmadığı için mekanik enerji korunur. Yani, cismin başlangıçtaki toplam mekanik enerjisi, son durumdaki toplam mekanik enerjisine eşit olacaktır.

  $E_{ilk} = E_{son}$

  $PE_{ilk} + KE_{ilk} = PE_{son} + KE_{son}$

  Burada $PE$ potansiyel enerjiyi ($mgh$), $KE$ ise kinetik enerjiyi ($\frac{1}{2}mv^2$) temsil eder.

• Başlangıç Durumundaki Enerjileri Hesaplayalım:

  Cisim eğik düzlemin tepesinde, yerden $10 \text{ m}$ yükseklikte ve serbest bırakıldığı için başlangıç hızı $0$'dır.

  Başlangıç Potansiyel Enerjisi ($PE_{ilk}$):

  $PE_{ilk} = mgh = 5 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 10 \text{ m} = 500 \text{ J}$

  Başlangıç Kinetik Enerjisi ($KE_{ilk}$):

  $KE_{ilk} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times (0 \text{ m/s})^2 = 0 \text{ J}$

  Toplam Başlangıç Mekanik Enerjisi:

  $E_{ilk} = PE_{ilk} + KE_{ilk} = 500 \text{ J} + 0 \text{ J} = 500 \text{ J}$

• Son Durumdaki Enerjileri Hesaplayalım:

  Cisim eğik düzlemin altına ulaştığında, yüksekliği $0 \text{ m}$ olur (referans noktamızı eğik düzlemin altı olarak kabul ediyoruz). Bu andaki hızını ($v_f$) bulmak istiyoruz.

  Son Potansiyel Enerjisi ($PE_{son}$):

  $PE_{son} = mgh_{son} = 5 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times 0 \text{ m} = 0 \text{ J}$

  Son Kinetik Enerjisi ($KE_{son}$):

  $KE_{son} = \frac{1}{2}mv_f^2 = \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times v_f^2$

  Toplam Son Mekanik Enerjisi:

  $E_{son} = PE_{son} + KE_{son} = 0 \text{ J} + \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times v_f^2$

• Enerjinin Korunumu İlkesini Uygulayalım:

  $E_{ilk} = E_{son}$

  $500 \text{ J} = \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times v_f^2$

  Denklemi $v_f$ için çözelim:

  $500 = \frac{5}{2} v_f^2$

  $1000 = 5 v_f^2$

  $v_f^2 = \frac{1000}{5}$

  $v_f^2 = 200$

  $v_f = \sqrt{200}$

  $v_f = \sqrt{100 \times 2}$

  $v_f = 10\sqrt{2} \text{ m/s}$

• Sonucu Yorumlayalım:

  Hesapladığımız hız $10\sqrt{2} \text{ m/s}$'dir. Yaklaşık olarak $\sqrt{2} \approx 1.414$ olduğundan,

  $v_f \approx 10 \times 1.414 = 14.14 \text{ m/s}$

  Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan ve genellikle bu tür sorularda beklenen tam sayı değeri $14 \text{ m/s}$'dir.

  Ek Bilgi: Dikkat ederseniz, cismin kütlesi ($m$) ve eğik düzlemin açısı ($\theta$) son hızın hesaplanmasında doğrudan kullanılmadı. Sürtünmesiz bir ortamda, cismin son hızı sadece başlangıç yüksekliğine ve yerçekimi ivmesine bağlıdır. Bu durumu genel bir formülle de gösterebiliriz: $mgh = \frac{1}{2}mv_f^2 \Rightarrow gh = \frac{1}{2}v_f^2 \Rightarrow v_f = \sqrt{2gh}$.

Cevap C seçeneğidir.