Belirli integral nedir Test 2

Bir göletin su seviyesi, yağışlar nedeniyle \( R(t) = 5\sqrt{t} \) cm/saat hızında yükselmektedir. Buna göre, ilk 4 saatte göletin su seviyesindeki toplam yükselme kaç cm'dir?

A) 20
B) \( \frac{40}{3} \)
C) \( \frac{80}{3} \)
D) 40

Haydi, bu su seviyesi sorununu eğlenceli bir şekilde çözelim!

• 🌧️ Göletin su seviyesindeki yükselme hızını veren fonksiyonu yazalım: $R(t) = 5\sqrt{t}$.
• ⏱️ İlk 4 saatteki toplam yükselmeyi bulmak için bu fonksiyonun integralini 0'dan 4'e almamız gerekiyor: $\int_{0}^{4} 5\sqrt{t} \, dt$.
• ➗ İntegrali çözelim: $5 \int_{0}^{4} t^{\frac{1}{2}} \, dt = 5 \left[ \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}$.
• 🧮 İntegralin sınırlarını yerine koyalım: $5 \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} = 5 \left( \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} \right)$.
• 📐 Hesaplamaları yapalım: $5 \left( \frac{2}{3} (8) - 0 \right) = 5 \cdot \frac{16}{3} = \frac{80}{3}$.
• ✅ Doğru Seçenek C'dır.