Soru:
Bir ABC üçgeninde, \( |BC| = 10 \) cm'dir. D noktası [AC] kenarı üzerinde olmak üzere, \( m(\widehat{ABD}) = 30^\circ \) ve \( m(\widehat{CBD}) = 30^\circ \) olacak şekilde bir [BD] çizgisi çiziliyor. Ayrıca \( m(\widehat{BDA}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{BDC}) = 100^\circ \) olduğu biliniyor. ABD ve CBD üçgenlerinin eş olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
🔍 Bu problem, aynı doğru parçasını paylaşan iki ayrı üçgenin eşliğini sorguluyor. Dikkatli bir şekilde açı ve kenar eşitliklerini belirlemeliyiz.
- ➡️ Birinci adım: Ortak elemanı bulalım. Her iki üçgende de [BD] kenarı ortaktır, yani \( |BD| = |BD| \) (Ortak kenar).
- ➡️ İkinci adım: Açı eşitliklerini inceleyelim. Verilenlere göre \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{CBD}) = 30^\circ \). Ayrıca, \( m(\widehat{BDA}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{BDC}) = 100^\circ \) olarak verilmiş. BDA ve BDC açıları bütünler açılardır (80° + 100° = 180°). Ancak eşlik için bu iki açının kendisi değil, üçgenlerin karşılık gelen açıları önemlidir. ABD üçgenindeki \( \widehat{BDA} \) açısı (80°) ile CBD üçgenindeki \( \widehat{BDC} \) açısı (100°) eşit değildir. Burada dikkat edilmesi gereken, her bir üçgenin kendi içindeki açılar toplamı 180° olmalıdır.
- ➡️ Üçüncü adım: ABD üçgeninin açıları: \( \widehat{ABD} = 30^\circ \), \( \widehat{BDA} = 80^\circ \) ise \( \widehat{BAD} = 180 - (30+80) = 70^\circ \). CBD üçgeninin açıları: \( \widehat{CBD} = 30^\circ \), \( \widehat{BDC} = 100^\circ \) ise \( \widehat{BCD} = 180 - (30+100) = 50^\circ \). Görüldüğü gibi karşılıklı tüm açılar eşit değil. Ancak soruda |BC| kenarı verilmiş ve kullanılmamış. Bu durumda verilenler ve istenen tekrar gözden geçirilmelidir. Sorunun amacı AKA'yı göstermekse, doğru karşılıklı açılar şunlardır: Her iki üçgende de 30°'lik açı ve ortak [BD] kenarı vardır. Üçüncü eşitlik için [BD] kenarının diğer bitişik açılarına, yani \( \widehat{BDA} \) ve \( \widehat{BDC} \)'ye bakılamaz çünkü eşit değiller. Fakat [BD] kenarı, her iki üçgen için de aynı kenardır ve bitişiği olan 30°'lik açılar eşittir. Eşlik için ikinci bir eşit açı daha gereklidir. Bu da üçgenlerin iç açıları toplamından bulunabilir. Eğer \( \widehat{BAD} \) ve \( \widehat{BCD} \) eşit olsaydı AKA sağlanırdı. Bu soru özelinde, verilen ek bilgilerle (|BC|=10 cm gibi) AKA eşliği kurmak mümkün görünmüyor. Sorunun varsayımsal amacı AKA'nın anlaşılması olduğu için, çözümü şu şekilde düzeltelim: "Verilenlerde bir eksiklik/çelişki olduğu görülmektedir. AKA eşliğinin sağlanabilmesi için, ortak [BD] kenarının her iki üçgende de aynı olan 30°'lik açıya ek olarak, bu kenarın diğer bitişik açılarının da eşit olması gerekir. Örneğin, eğer \( m(\widehat{BDA}) = m(\widehat{BDC}) \) verilseydi, o zaman AKA eşliği sağlanırdı."
✅ Bu örnek, AKA eşlik şartını uygularken karşılıklı elemanların ve bitişiklik ilişkisinin doğru kurulmasının ne kadar önemli olduğunu göstermektedir.
