Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \), \( |AB| = 8 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm'dir. \( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarına çizilen yüksekliğin (\( |AH| \)) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Yüksekliği bulmak için alandan faydalanabiliriz. Önce üçgenin alanını iki farklı şekilde hesaplayacağız.
- ➡️ 1. Adım: Sinüs alan formülü ile alanı bulalım.
\( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\widehat{A}) \)
\( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \) cm²
- ➡️ 2. Adım: Aynı alanı yükseklik kullanarak ifade edelim.
\( A(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |AH| \)
Bu formülde \( |BC| \) bilinmiyor. Önce \( |BC| \)'yi Kosinüs Teoremi ile bulalım.
\( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{A}) \)
\( |BC|^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \)
\( |BC|^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52 \)
\( |BC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) cm
- ➡️ 3. Adım: Şimdi alan formülünde yerine koyalım ve \( |AH| \)'yi bulalım.
\( 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{13}) \cdot |AH| \)
\( 12\sqrt{3} = \sqrt{13} \cdot |AH| \)
\( |AH| = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \) cm
✅ Sonuç: \( |AH| = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \) cm. Rasyonelleştirirsek \( \frac{12\sqrt{39}}{13} \) cm elde ederiz.
