Soru:
Bir ikizkenar üçgenin taban uzunluğu 12 cm ve eş kenarlarından birine ait yükseklik 8 cm'dir. Buna göre, bu ikizkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Bu özellikleri kullanacağız.
- ➡️ Üçgenimiz ABC ikizkenar üçgeni olsun, |AB| = |AC|. [BH] yüksekliği [AC] kenarına, [AK] yüksekliği de [BC] tabanına çizilsin.
- ➡️ Soruda verilen, eş kenarlardan birine (örneğin [AC]'ye) ait yükseklik |BH| = 8 cm'dir. Taban |BC| = 12 cm'dir.
- ➡️ Üçgenin alanını iki farklı şekilde yazalım:
1. A(ABC) = (|AC| × |BH|) / 2 = (|AC| × 8) / 2 = 4 × |AC|
2. A(ABC) = (|BC| × |AK|) / 2 = (12 × |AK|) / 2 = 6 × |AK|
- ➡️ Bu iki alan ifadesi eşit olmalıdır: 4 × |AC| = 6 × |AK| → |AK| = (4/6) × |AC| = (2/3) × |AC|
- ➡️ Şimdi |AC|'yi bulmamız gerekiyor. [AK] yüksekliği aynı zamanda kenarortay olduğu için |KC| = |BC|/2 = 6 cm'dir. ACK dik üçgeninde Pisagor Bağıntısı'nı uygulayabiliriz: |AC|² = |AK|² + |KC|²
- ➡️ |AK| yerine (2/3)|AC| yazalım: |AC|² = ((2/3)|AC|)² + 6² → |AC|² = (4/9)|AC|² + 36
- ➡️ |AC|² - (4/9)|AC|² = 36 → (5/9)|AC|² = 36 → |AC|² = 36 × (9/5) = 324/5
- ➡️ |AK| = (2/3) × |AC| = (2/3) × \(\sqrt{\frac{324}{5}}\) = (2/3) × (18 / \(\sqrt{5}\)) = 12 / \(\sqrt{5}\)
- ➡️ Rasyonel yaparsak: |AK| = \( \frac{12\sqrt{5}}{5} \) cm
✅ Sonuç: Taban yüksekliği \(\frac{12\sqrt{5}}{5}\) cm'dir.
