Soru:
Aşağıdaki rasyonel ifadeyi sadeleştiriniz:
\[
\frac{2x^2 + 5x - 3}{4x^2 - 1}
\]
Çözüm:
💡 Bu soruda hem pay hem de payda ikinci dereceden ifadelerdir ve çarpanlarına ayrılabilirler.
- ➡️ Adım 1: Payı çarpanlarına ayıralım: \(2x^2 + 5x - 3\). Çapraz çarpım yöntemiyle, çarpımları \(2 \times -3 = -6\), toplamları +5 olan iki sayı ararız. Bu sayılar +6 ve -1'dir. İfadeyi \(2x^2 + 6x - x - 3\) şeklinde yazıp gruplayarak çarpanlarına ayıralım: \(2x(x + 3) -1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)\).
- ➡️ Adım 2: Paydayı çarpanlarına ayıralım: \(4x^2 - 1\). Bu bir iki kare farkıdır: \((2x)^2 - (1)^2 = (2x - 1)(2x + 1)\).
- ➡️ Adım 3: İfadeyi çarpanlarına ayrılmış haliyle yazalım:
\[
\frac{(2x - 1)(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)}
\]
- ➡️ Adım 4: Pay ve paydada ortak olan \((2x - 1)\) çarpanını sadeleştirelim.
✅ Sadeleştirilmiş sonuç: \(\frac{x + 3}{2x + 1}\) olur. (\(x \neq \frac{1}{2}\) ve \(x \neq -\frac{1}{2}\) koşuluyla)
