Soru:
Aşağıdaki rasyonel ifadeyi sadeleştiriniz:
\[
\frac{6x^2 - 54}{3x^2 - 6x - 45}
\]
Çözüm:
🧠 Burada önce pay ve paydadaki ortak çarpanları ve ardından ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayıracağız.
- ➡️ Ortak çarpanları alma: Önce pay ve paydayı ayrı ayrı düzenleyelim.
Pay: \(6x^2 - 54 = 6(x^2 - 9) = 6(x - 3)(x + 3)\)
Payda: \(3x^2 - 6x - 45 = 3(x^2 - 2x - 15)\)
- ➡️ Paydayı tamamen çarpanlarına ayırma: \(x^2 - 2x - 15\) ifadesini çarpanlarına ayıralım. Toplamları -2, çarpımları -15 olan iki sayı 3 ve -5'tir.
O halde, \(x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)\)
Bu durumda paydanın tam hali: \(3(x + 3)(x - 5)\)
- ➡️ Sadeleştirme: Tüm ifadeyi yazalım:
\[
\frac{6(x - 3)(x + 3)}{3(x + 3)(x - 5)} = \frac{2(x - 3)}{x - 5}
\]
Sabitlerde \(6/3 = 2\) oldu ve \((x + 3)\) çarpanları sadeleşti.
✅ Sadeleştirilmiş ifade: \(\frac{2(x - 3)}{x - 5}\) veya \(\frac{2x - 6}{x - 5}\)
