Soru:
\( Q(x) = ax^5 + 4x^3 + bx^2 - 3x + 2 \) polinomu veriliyor. Bu polinomun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı 6 olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Çift dereceli terimler \( bx^2 \) ve \( 2 \) (yani \( 2x^0 \)) sabit terimidir. Katsayıları toplamı \( b + 2 \) olur. Ayrıca formülle de bulabiliriz.
- ➡️ İlk adım: Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı formülünü yazalım.
\( \frac{Q(1) + Q(-1)}{2} = 6 \)
- ➡️ İkinci adım: \( Q(1) \) ve \( Q(-1) \) değerlerini bulalım.
\( Q(1) = a(1)^5 + 4(1)^3 + b(1)^2 - 3(1) + 2 = a + 4 + b - 3 + 2 = a + b + 3 \)
\( Q(-1) = a(-1)^5 + 4(-1)^3 + b(-1)^2 - 3(-1) + 2 = -a -4 + b + 3 + 2 = -a + b + 1 \)
- ➡️ Üçüncü adım: Bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım.
\( \frac{(a + b + 3) + (-a + b + 1)}{2} = 6 \)
\( \frac{a + b + 3 - a + b + 1}{2} = 6 \)
\( \frac{2b + 4}{2} = 6 \)
\( b + 2 = 6 \)
\( b = 4 \)
- ➡️ Dördüncü adım: Soruda \( a + b \) isteniyor ancak \( a \) değeri denklemden gitti. \( a \)'nın herhangi bir değer alabileceğini görürüz. Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı zaten \( b + 2 \)'dir ve bu 6'ya eşitse \( b=4 \) bulunur. \( a \) ise tek dereceli terimlerin katsayısı olduğu için toplamı etkilemez. Dolayısıyla \( a + b \) tek bir değer belirtmez, soru eksik bilgi içeriyor olabilir. Ancak genel kabul, \( a \)'nın bir gerçel sayı olduğu ve \( a+b \)'nin sabit bir sonuç vermediği yönündedir. Eğer polinomun katsayıları gerçel sayı ise \( a+b \) için bir sınırlama yoktur. Soru hatalı gibi görünmektedir. Pratik çözüm: Çift dereceli terimler \( bx^2 \) ve \( +2 \) olduğundan toplam \( b+2=6 \) ise \( b=4 \). \( a \) serbesttir, dolayısıyla \( a+b \) tek bir değer değildir.
⚠️ Bu soru, \( a \) değişkeninin çift dereceli terimler toplamını etkilememesi nedeniyle tek bir cevap vermemektedir. \( b = 4 \) bulunur, ancak \( a + b \) ifadesi \( a \)'ya bağlı olarak değişir.
