Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı 8, tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı -4 olan bir \( T(x) \) polinomu veriliyor. Buna göre, \( T(2) \) değeri kaçtır?

💡 Polinomlarla ilgili temel bilgileri kullanacağız.

• ➡️ İlk adım: Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı = \( \frac{T(1) + T(-1)}{2} = 8 \)
  Buradan, \( T(1) + T(-1) = 16 \) elde edilir. (1. Denklem)
• ➡️ İkinci adım: Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı = \( \frac{T(1) - T(-1)}{2} = -4 \)
  Buradan, \( T(1) - T(-1) = -8 \) elde edilir. (2. Denklem)
• ➡️ Üçüncü adım: İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
  (1. Denklem) + (2. Denklem): \( [T(1) + T(-1)] + [T(1) - T(-1)] = 16 + (-8) \)
  \( 2T(1) = 8 \)
  \( T(1) = 4 \)
• ➡️ Dördüncü adım: \( T(1) = 4 \) değerini 1. denklemde yerine koyalım.
  \( 4 + T(-1) = 16 \)
  \( T(-1) = 12 \)
• ➡️ Beşinci adım: \( T(2) \)'yi bulmak için polinomu \( T(x) = A(x) + B(x) \) şeklinde düşünelim; burada \( A(x) \) çift dereceli terimlerin, \( B(x) \) ise tek dereceli terimlerin toplamı olsun. \( A(x) \) çift fonksiyon, \( B(x) \) tek fonksiyon özelliği gösterir. Ancak daha pratik bir yol izleyelim. \( T(1) \) ve \( T(-1) \) değerlerini bildiğimiz halde \( T(2) \)'yi doğrudan bulamayız. Bu nedenle, sorunun bir püf noktası vardır. \( T(x) \) polinomunun kendisi verilmediğine göre, \( T(2) \) için kesin bir değer bulunamaz. Ancak genel bir yaklaşım olarak, \( T(x) = a + bx + cx^2 + ... \) şeklinde bir polinom olduğunu düşünürsek, çift dereceli terimler toplamı \( a + c + e + ... = 8 \), tek dereceli terimler toplamı \( b + d + f + ... = -4 \) olur. \( T(2) = a + 2b + 4c + 8d + ... \) şeklinde yazılır. Bu ifadeyi, çift ve tek toplamlar cinsinden yazamayız çünkü katsayılar farklı katsayılarla çarpılmıştır. Dolayısıyla, verilenlerle \( T(2) \) tek bir değer olarak belirlenemez. Soru, bu haliyle ek bir bilgi olmaksızın çözülemez.

⚠️ Bu soru, verilen bilgilerle \( T(2) \) değerinin tek bir sayı olarak belirlenemeyeceğini göstermektedir. \( T(1)=4 \) ve \( T(-1)=12 \) bulunur, ancak \( T(2) \) polinomun diğer katsayılarına bağlıdır.