Soru:
Bir \( ABC \) dar açılı üçgeninde, \( m(\widehat{A}) = 2x + 10^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 3x - 5^\circ \) ve \( m(\widehat{C}) = 4x + 15^\circ \) ise, \( x \) kaçtır ve üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
Çözüm:
💡 Önce iç açılar toplamını kullanarak \( x \)'i bulmalıyız. Daha sonra, bulduğumuz açıların tümünün \( 90^\circ \)'den küçük olduğunu (dar açılı üçgen olduğu için) kontrol etmeliyiz.
- ➡️ Adım 1: Açıların toplamını yazalım ve \( 180^\circ \)'ye eşitleyelim:
\( (2x + 10) + (3x - 5) + (4x + 15) = 180 \)
\( 2x + 10 + 3x - 5 + 4x + 15 = 180 \)
\( 9x + 20 = 180 \)
- ➡️ Adım 2: Denklemi çözelim:
\( 9x = 160 \)
\( x = \frac{160}{9} \)
- ➡️ Adım 3: Açıları hesaplayalım:
\( m(\widehat{A}) = 2(\frac{160}{9}) + 10 = \frac{320}{9} + \frac{90}{9} = \frac{410}{9} \approx 45.56^\circ \)
\( m(\widehat{B}) = 3(\frac{160}{9}) - 5 = \frac{480}{9} - \frac{45}{9} = \frac{435}{9} \approx 48.33^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 4(\frac{160}{9}) + 15 = \frac{640}{9} + \frac{135}{9} = \frac{775}{9} \approx 86.11^\circ \)
- ➡️ Adım 4: Kontrol: Tüm açılar \( 90^\circ \)'den küçüktür. En büyük açı \( \widehat{C} \)'dir.
✅ Sonuç olarak, \( x = \frac{160}{9} \) ve üçgenin en büyük açısı \( \frac{775}{9} \approx 86.11^\circ \)'dir.
