Soru:
Bir \(KLM\) dar açılı üçgeninde, \(m(\widehat{K})=x-10^\circ\), \(m(\widehat{L})=2x+15^\circ\) ve \(m(\widehat{M})=3x-5^\circ\) olduğuna göre, \(x\)'in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Üçgen dar açılı olduğu için her bir açı \(0^\circ\) ile \(90^\circ\) arasında olmalıdır. Ayrıca iç açılar toplamı \(180^\circ\) olmalıdır.
- ➡️ Birinci adım: İç açılar toplamı denklemini kuralım.
\((x-10) + (2x+15) + (3x-5) = 180\)
\(6x + 0 = 180\)
\(6x = 180\)
\(x = 30\)
- ➡️ İkinci adım: \(x=30\) değerini her bir açıda yerine koyup kontrol edelim.
\(m(\widehat{K}) = 30 - 10 = 20^\circ\) (Dar)
\(m(\widehat{L}) = 2(30)+15 = 75^\circ\) (Dar)
\(m(\widehat{M}) = 3(30)-5 = 85^\circ\) (Dar)
- ➡️ Üçüncü adım: Sadece \(x=30\) için mi tüm açılar dar olur? Denklemi çözdüğümüzde tek bir \(x\) değeri bulduk. Ancak soru \(x\)'in alabileceği tam sayı değerlerini istiyor. Bu durumda, her bir açının \(0^\circ\)'den büyük ve \(90^\circ\)'den küçük olması koşulunu ayrı ayrı incelemeliyiz.
- ➡️ Dördüncü adım: Her bir açı için eşitsizlik kuralım.
\(0 < x-10 < 90 \Rightarrow 10 < x < 100\)
\(0 < 2x+15 < 90 \Rightarrow -15 < 2x < 75 \Rightarrow -7.5 < x < 37.5\)
\(0 < 3x-5 < 90 \Rightarrow 5 < 3x < 95 \Rightarrow 1.\overline{6} < x < 31.\overline{6}\)
- ➡️ Beşinci adım: Tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan \(x\) değer aralığını bulalım.
\(10 < x < 100\), \( -7.5 < x < 37.5\), \(1.\overline{6} < x < 31.\overline{6}\)
Bu üç aralığın kesişimi: \(10 < x < 31.\overline{6}\)
- ➡️ Altıncı adım: Bu aralıktaki tam sayılar: \(11, 12, 13, ..., 31\).
✅ Sonuç: \(x\)'in alabileceği tam sayı değerleri 11'den 31'e kadar olan tam sayılardır (11 ve 31 dahil).
