Soru:
Aşağıdaki şekilde verilen ABC dik üçgeninde, \( [AB] \perp [AC] \) ve \( [AH] \perp [BC] \)'dir. \( |BH| = 3 \) cm ve \( |HC| = 12 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) ve \( |AC| \) dik kenarlarının uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem hipotenüse ait yüksekliği hem de dik kenarları bulmak için Öklid teoremlerini kullanacağız. Önce \( |AB| \)'yi bulalım.
- \( |AB| \)'yi bulma:
- ➡️ \( |AB| \) kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( |BH| = p = 3 \) cm'dir.
- ➡️ Hipotenüs \( |BC| = |BH| + |HC| = 3 + 12 = 15 \) cm'dir.
- ➡️ Formül: \( |AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \)
- ➡️ \( |AB|^2 = 3 \cdot 15 = 45 \)
- ➡️ \( |AB| = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \) cm
- \( |AC| \)'yi bulma:
- ➡️ \( |AC| \) kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( |HC| = k = 12 \) cm'dir.
- ➡️ Formül: \( |AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \)
- ➡️ \( |AC|^2 = 12 \cdot 15 = 180 \)
- ➡️ \( |AC| = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) cm
✅ Sonuç: \( |AB| = 3\sqrt{5} \) cm ve \( |AC| = 6\sqrt{5} \) cm olarak bulunur.
