Soru:
Aşağıdaki önermelerin bir çift gerektirme oluşturduğunu gösterin:
\( p \): "\( n \) bir çift tam sayıdır."
\( q \): "\( n^2 \) bir çift tam sayıdır."
Çözüm:
💡 Çift gerektirmeyi ispatlamak için her iki yönü de kanıtlamalıyız.
- ➡️ 1. Adım ( \(p \Rightarrow q\) ): \(n\) çift ise, \(n = 2k\) (k ∈ ℤ) yazılır. O halde \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) olur. \(2k^2\) bir tam sayı olduğundan, \(n^2\) de bir çift sayıdır. ✅ Bu yön doğru.
- ➡️ 2. Adım ( \(q \Rightarrow p\) ): Bunu ispatlamanın en iyi yolu karşıt tersini almak: "\(n\) tek ise, \(n^2\) tektir." \(n\) tek ise \(n=2k+1\) yazılır. \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) olur, bu da tektir. Dolayısıyla, orijinal önerme de doğrudur. ✅ Bu yön de doğru.
✅ Sonuç: Her iki gerektirme de doğru olduğundan, \( p \Leftrightarrow q \) bir çift gerektirmedir.
