Soru:
\( g(x) = |-3x + 12| \) fonksiyonunun grafiğini çizmek istiyorsunuz. Grafiğin tepe noktasının koordinatlarını ve fonksiyonun azalan/artan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyonun grafiği, mutlak değerin içindeki ifadenin katsayısı negatif olduğu için "ters V" şeklinde olacaktır.
- ➡️ Adım 1: Tepe Noktasının Bulunması
Mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( -3x + 12 = 0 \)
\( -3x = -12 \)
\( x = 4 \)
\( x=4 \) noktasında fonksiyonun değeri: \( g(4) = | -3(4) + 12 | = | -12 + 12 | = |0| = 0 \)
Tepe noktası \( (4, 0) \)'dır.
- ➡️ Adım 2: Parçalı Fonksiyon ve Eğim Analizi
Mutlak değeri kaldıralım:
\( -3x + 12 \ge 0 \) ise, yani \( -3x \ge -12 \) → \( x \le 4 \) ise, \( g(x) = -3x + 12 \). Buradaki eğim -3'tür. (SOL KOL)
\( -3x + 12 < 0 \) ise, yani \( x > 4 \) ise, \( g(x) = -(-3x + 12) = 3x - 12 \). Buradaki eğim +3'tür. (SAĞ KOL)
- ➡️ Adım 3: Artan/Azalan Aralıkların Belirlenmesi
Sol Kol (\( x \le 4 \)): Eğim negatif (-3) olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
Sağ Kol (\( x > 4 \)): Eğim pozitif (+3) olduğu için fonksiyon bu aralıkta artandır.
Grafik, tepe noktası (4,0) olan ve aşağıya doğru açılan bir "ters V" şeklindedir.
✅ Sonuç: Tepe noktası (4, 0)'dır. Fonksiyon \( (-\infty, 4] \) aralığında azalan, \( [4, +\infty) \) aralığında artandır.
