Soru:
\( g(x) = |-\frac{1}{2}x + 1| + 3 \) fonksiyonu veriliyor.
- Fonksiyonun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
- Fonksiyonun görüntü kümesini (alabileceği en küçük ve en büyük değerleri) bulunuz.
- Fonksiyonun grafiğini kabaca çiziniz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyon, temel V şeklinin dikey olarak kaydırılmış halidir (\( +3 \)).
- ➡️ Adım 1: Tepe Noktasının Bulunması
Mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değeri, tepe noktasının x koordinatıdır.
\( -\frac{1}{2}x + 1 = 0 \)
\( -\frac{1}{2}x = -1 \)
\( x = 2 \)
Tepe noktasının y koordinatını bulmak için \( x=2 \)'yi fonksiyonda yerine koyarız.
\( g(2) = | -\frac{1}{2}(2) + 1 | + 3 = | -1 + 1 | + 3 = |0| + 3 = 3 \)
Tepe noktası \( (2, 3) \)'tür.
- ➡️ Adım 2: Görüntü Kümesinin Bulunması
Bir mutlak değer fonksiyonunun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının y koordinatıdır. Çünkü mutlak değerli ifadenin kendisi en az 0 değerini alır.
\( |-\frac{1}{2}x + 1| \ge 0 \) olduğundan,
\( |-\frac{1}{2}x + 1| + 3 \ge 0 + 3 \)
\( g(x) \ge 3 \)
Fonksiyon yukarıya doğru sınırsız olduğu için en büyük değeri yoktur (\( +\infty \)).
Görüntü kümesi: \( [3, +\infty) \).
- ➡️ Adım 3: Grafiğin Çizimi
Grafik, tepe noktası (2, 3) olan bir V şeklidir.
Mutlak değerin içindeki \( x \)'in katsayısı \( -\frac{1}{2} \) olduğu için grafik "ters V" şeklindedir (aşağıya doğru açılan değil, tepe noktasından aşağıya inen kolları olan). Aslında katsayının mutlak değer dışındaki işareti grafiğin yönünü belirler. \( m = -1/2 \) olduğundan grafik sola yatık bir V'dir.
Sol kol (\( x \le 2 \)): \( g(x) = (-\frac{1}{2}x + 1) + 3 = -\frac{1}{2}x + 4 \) (Eğim: -1/2)
Sağ kol (\( x > 2 \)): \( g(x) = -(-\frac{1}{2}x + 1) + 3 = \frac{1}{2}x - 1 + 3 = \frac{1}{2}x + 2 \) (Eğim: +1/2)
Bu bilgilerle (2,3) noktası merkez olacak şekilde bir V grafiği çizilir.
✅ Sonuç: Tepe noktası (2, 3)'tür. Görüntü kümesi \( [3, +\infty) \)'dir. Grafik, tepe noktası (2,3) olan bir V şeklidir.
