Soru:
\( g(x) = |-\frac{1}{2}x + 1| \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve azalan olduğu aralığı belirleyiniz.
Çözüm:
💡 Grafiği çizmek için önce parçalı fonksiyonu yazmak faydalı olacaktır. Azalan aralık, grafiğin sağa doğru gidildikçe aşağı indiği bölgedir.
- ➡️ Birinci adım: Kritik noktayı bulalım: \( -\frac{1}{2}x + 1 = 0 \). Buradan \( x = 2 \) bulunur.
- ➡️ İkinci adım: Parçalı fonksiyonu yazalım:
\( g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1, & \text{eğer } -\frac{1}{2}x + 1 \geq 0 \ (x \leq 2) \\ -(-\frac{1}{2}x + 1) = \frac{1}{2}x - 1, & \text{eğer } x > 2 \end{cases} \)
- ➡️ Üçüncü adım: Grafiği analiz edelim. \( x \leq 2 \) aralığında, eğimi -1/2 olan bir doğru parçası vardır. \( x > 2 \) aralığında ise eğimi +1/2 olan bir doğru parçası vardır. Tepe noktası (2, 0)'dır.
- ➡️ Dördüncü adım: Azalan aralığı bulalım. Eğimin negatif olduğu bölge fonksiyonun azalan olduğu bölgedir. Bu, \( x \leq 2 \) aralığıdır. Grafik, x=2 noktasına kadar sola doğru gidildikçe (yani x değerleri azalırken) yükselmektedir. Ancak, fonksiyonun azalan olması için, x değerleri arttıkça y değerlerinin azalması gerekir. x ≤ 2 aralığında, x değeri -∞'dan 2'ye doğru arttığında, y değeri +∞'dan 0'a doğru azalır. Dolayısıyla fonksiyon \( (-\infty, 2] \) aralığında azalandır.
✅ Sonuç: Fonksiyonun grafiği tepe noktası (2,0) olan bir V şeklidir ve \( (-\infty, 2] \) aralığında azalandır.
