Soru:
Bir kutucuğa eşit büyüklükteki küp şeklindeki sabunlar, kutunun boyutlarına tam olarak yerleşecek şekilde paketleniyor. Kutunun boyutları \( 12 \, cm \), \( 15 \, cm \) ve \( 20 \, cm \) olduğuna göre, bir küp sabunun bir kenar uzunluğu en fazla kaç cm olabilir ve bu durumda kutuya kaç sabun sığar?
Çözüm:
💡 Kutunun tüm boyutlarına tam bölünebilen en büyük küp kenarını arıyoruz. Bu, üç sayının EBOB'udur.
- ➡️ İlk adım, \( 12 \), \( 15 \) ve \( 20 \)'nin EBOB'unu bulmaktır.
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
\( 15 = 3 \times 5 \)
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
Ortak asal çarpanlar \( 2^2 \)'dir. (3 ve 5 tüm sayılarda ortak değildir.)
\( EBOB(12, 15, 20) = 2^2 = 4 \)
- ➡️ Demek ki bir küp sabunun bir kenarı en fazla 4 cm olabilir.
- ➡️ Şimdi kutuya kaç sabun sığacağını bulalım. Bu, kutunun hacminin, bir sabunun hacmine bölünmesiyle bulunur.
Kutu Hacmi = \( 12 \times 15 \times 20 = 3600 \, cm^3 \)
Bir Sabun Hacmi = \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \, cm^3 \)
Sabun Sayısı = \( \frac{3600}{64} = 56.25 \)
- ➡️ ❗️ Sonuç tam çıkmadı! Bu, kenar uzunluklarının EBOB'unun 4 olduğu anlamına gelir, yani 4 cm'lik küpler kutunun her boyutunu tam böler. Hesaplamayı kontrol edelim:
\( 12 / 4 = 3 \) sıra (uzunluk)
\( 15 / 4 = 3.75 \) sıra (genişlik) ❌ Bu bir problem! 15, 4'e tam bölünmez. Bu da demek oluyor ki küpler kutuya tam olarak yerleşemez. Bu durumda soru "en fazla" ifadesiyle EBOB'u soruyor ama pratikte bu mümkün değil. Bu bir yanıltmacadır! Doğru EBOB'u tekrar bulmalıyız. Tüm sayıları tam bölen bir sayı olmalı. 12, 15 ve 20'yi aynı anda tam bölen en büyük sayı 1'dir. O halde sorunun mantığında bir hata var. Genellikle bu tip sorularda tüm boyutlar EBOB'a tam bölünür. EBOB'u doğru bulalım:
Asal çarpanlar: 12 (2,2,3), 15 (3,5), 20 (2,2,5). Tüm sayılarda ortak olan bir asal çarpan YOKTUR. Bu nedenle EBOB(12,15,20) = 1'dir. Bu da küpün kenarının en fazla 1 cm olabileceği anlamına gelir. O zaman:
Sabun Sayısı = \( \frac{12 \times 15 \times 20}{1 \times 1 \times 1} = 3600 \)
✅ Sonuç: Bir kenar en fazla 1 cm olabilir ve kutuya 3600 sabun sığar.
