Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı \( R = 6 \) cm'dir. \( \widehat{A} = 30^\circ \) ve \( a = 8 \) cm olduğuna göre, \( b \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda çevrel çember yarıçapı verildiği için Sinüs Teoremi'nin geniş formu kullanılabilir: \( \frac{a}{\sin(A)} = 2R \).
- ➡️ Önce verilenleri Sinüs Teoremi'nde kontrol edelim: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{0.5} = 16 \).
- ➡️ Teorem: \( \frac{a}{\sin(A)} = 2R \) olduğundan, \( 2R = 16 \) ve \( R = 8 \) cm olmalıdır. Ancak soruda \( R = 6 \) cm verilmiş. Bu bir çelişki gösterir ve böyle bir üçgen olamaz.
- ➡️ Üçgenin var olabilmesi için \( a \leq 2R \) olmalıdır (bir çemberde bir kirişin uzunluğu çapa eşit veya ondan küçüktür). Burada \( a = 8 \) cm ve \( 2R = 12 \) cm'dir. \( 8 \leq 12 \) olduğundan üçgen mümkündür.
- ➡️ Ancak, Sinüs Teoremi'nden \( \sin(A) = \frac{a}{2R} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \) bulunur. Verilen \( A = 30^\circ \) için \( \sin(30^\circ) = 0.5 \)'tir. \( 0.5 \neq 0.6667 \) olduğundan, verilen değerlerle bir üçgen çizilemez.
✅ Sonuç: Verilen değerlerle bir üçgen oluşturulamaz. Bu bir imkansız üçgen durumudur.
