Soru:
Bir XYZ üçgeninde \( x = 10 \) cm, \( \hat{Y} = 30^\circ \) ve \( \hat{Z} = 45^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( y \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda bir kenar ve iki açı bilindiği için Sinüs Teoremi kullanılır. Önce bilinmeyen açıyı bulalım.
- ➡️ Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir: \( \hat{X} = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ \)
- ➡️ Sinüs Teoremi: \( \frac{x}{\sin(\hat{X})} = \frac{y}{\sin(\hat{Y})} \)
- ➡️ Oranı kuralım: \( \frac{10}{\sin(105^\circ)} = \frac{y}{\sin(30^\circ)} \)
- ➡️ \( \sin(105^\circ) = \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) ve \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
- ➡️ Denklemi çözelim: \( y = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)
- ➡️ Paydayı rasyonel yapalım: \( y = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) cm
✅ Sonuç: \( y = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) cm olarak bulunur.
