Soru:
Bir PQR üçgeninde \( p = 12 \) cm, \( r = 8 \) cm ve \( \hat{Q} = 120^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( q \) kenarının uzunluğunu ve \( \hat{P} \) açısının ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda iki kenar ve aralarındaki açı bilindiği için önce Kosinüs Teoremi ile \( q \) bulunur, ardından Sinüs Teoremi ile \( \hat{P} \) bulunur.
- 1. Adım: q kenarını bulma
- ➡️ Kosinüs Teoremi: \( q^2 = p^2 + r^2 - 2pr \cdot \cos(\hat{Q}) \)
- ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \( q^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \)
- ➡️ \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \) olduğunu hatırlayalım.
- ➡️ Hesaplamalar: \( q^2 = 144 + 64 - 192 \cdot (-\frac{1}{2}) = 208 + 96 = 304 \)
- ➡️ Sonuç: \( q = \sqrt{304} = 4\sqrt{19} \) cm
- 2. Adım: \( \hat{P} \) açısını bulma
- ➡️ Sinüs Teoremi: \( \frac{p}{\sin(\hat{P})} = \frac{q}{\sin(\hat{Q})} \)
- ➡️ Oranı kuralım: \( \frac{12}{\sin(\hat{P})} = \frac{4\sqrt{19}}{\sin(120^\circ)} \)
- ➡️ \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- ➡️ Denklemi çözelim: \( \sin(\hat{P}) = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{3}}{4\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} \)
- ➡️ Rasyonel yapalım: \( \sin(\hat{P}) = \frac{3\sqrt{57}}{38} \approx 0.626 \)
- ➡️ Sonuç: \( \hat{P} = \sin^{-1}(\frac{3\sqrt{57}}{38}) \approx 38.75^\circ \)
✅ Sonuçlar: \( q = 4\sqrt{19} \) cm ve \( \hat{P} \approx 38.75^\circ \) olarak bulunur.
