9. Sınıf Dönme Dönüşümünün Özellikleri Nedir?

Question

Dönme dönüşümünde bir şeklin belirli bir nokta etrafında döndürülmesiyle yeni bir görüntüsü oluşuyor. Açı ve yön önemli ama saat yönü mü tersi mi olduğunu karıştırıyorum. Ayrıca döndürme sonrası şeklin boyutları değişmiyor mu, onu da tam anlayamadım.

Answer 1

Dönme Dönüşümünün Özellikleri

Dönme dönüşümü, bir şeklin belirli bir nokta etrafında (dönme merkezi) ve belirli bir açıyla döndürülmesidir. Bu dönüşümün temel özelliklerini aşağıda inceleyeceğiz.

1. Dönme Merkezi ve Açısı

• Dönme işlemi, bir dönme merkezi (genellikle \( O \) noktası) ve bir dönme açısı (\(\theta\)) ile tanımlanır.
• Açı pozitifse saat yönünün tersine, negatifse saat yönüne dönme yapılır.

2. Uzaklık Korunumu

Dönme dönüşümünde şeklin noktalarının dönme merkezine olan uzaklıkları değişmez. Yani, \( |OP| = |OP'| \) olur (burada \( P' \), \( P \) noktasının dönmüş halidir).

3. Açıların Korunumu

Dönme sonucunda şeklin iç açıları ve kenar uzunlukları korunur. Bu nedenle dönme, bir izometri (uzunluk koruyan dönüşüm) örneğidir.

4. Bileşke Dönme

• Ardışık iki dönme işlemi, tek bir dönmeye eşdeğerdir.
• Örneğin, \( \theta_1 \) ve \( \theta_2 \) açılarıyla yapılan dönmelerin bileşkesi \( \theta_1 + \theta_2 \) açılı dönmedir.

5. Ters Dönme

Bir dönme işleminin tersi, aynı merkez etrafında zıt yönde aynı açıyla dönmektir. Örneğin, \( \theta \) açılı dönmenin tersi \( -\theta \) açılı dönmedir.

6. Koordinat Düzleminde Dönme

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( \theta \) açısıyla döndürülmüş hali:

• \( x' = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta) \)
• \( y' = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta) \)

Not: Dönme dönüşümü, geometride öteleme ve yansımaya benzer şekilde şeklin konumunu değiştirir ancak boyutunu ve şeklini korur.

Answer 2

9. Sınıf Dönme Dönüşümünün Özellikleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir şeklin orijin etrafında \(90^\circ\) döndürülmesi sonucu elde edilen görüntüsünün koordinatları \((x, y)\) ise, orijinal noktanın koordinatları ______ olur.

2. Dönme dönüşümünde şeklin boyutları ______ kalır.

3. \(180^\circ\) döndürme işlemi, şeklin ______ noktasına göre simetriğini almakla aynıdır.

Doğru/Yanlış

Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirtiniz.

1. ( ) Dönme dönüşümünde şeklin alanı değişir.

2. ( ) \(270^\circ\) saat yönünde dönme, \(90^\circ\) saat yönünün tersine dönmeye eşdeğerdir.

3. ( ) Dönme merkezi her zaman koordinat düzleminin orijinidir.

Eşleştirme

Aşağıdaki dönme açılarını görüntü koordinatlarıyla eşleştiriniz.

• 1. \(90^\circ\) saat yönünde
• 2. \(180^\circ\)
• 3. \(270^\circ\) saat yönünde

a) \((y, -x)\)

b) \((-x, -y)\)

c) \((-y, x)\)

Açık Uçlu Sorular

1. Bir noktanın orijin etrafında \(45^\circ\) döndürülmesi sonucu elde edilen görüntüsünün koordinatlarını nasıl bulursunuz?

2. Dönme dönüşümünün öteleme dönüşümünden farkı nedir?

Kısa Test

1. \((2, 3)\) noktasının orijin etrafında \(90^\circ\) saat yönünde döndürülmüş hali aşağıdakilerden hangisidir?

a) \((3, -2)\)

b) \((-3, 2)\)

c) \((-2, -3)\)

d) \((2, -3)\)

Cevaplar:

1: \((-y, x)\), 2: değişmez, 3: orijin

1: Y, 2: D, 3: Y

1: a, 2: b, 3: c

1: \((3, -2)\)

Answer 3

9. Sınıf Dönme Dönüşümünün Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A(3, -2) noktasının orijin etrafında 90° saat yönünde döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
a) (2, 3)
b) (-2, -3)
c) (-3, 2)
d) (3, 2)
e) (-2, 3)
Cevap: b) (-2, -3)
Çözüm: 90° saat yönünde dönme formülü \( (x, y) \rightarrow (y, -x) \) şeklindedir. A(3, -2) noktasına uygulanırsa: \( ( -2, -3 ) \) elde edilir.

Soru 2: ABCD karesinin köşegenlerinin kesim noktası etrafında 180° döndürülmesiyle oluşan görüntüsü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) Alanı korunur
b) Çevre uzunluğu değişmez
c) Köşegenlerin uzunlukları artar
d) Şeklin yönü ters çevrilir
e) Karşılıklı köşeler yer değiştirir
Cevap: c) Köşegenlerin uzunlukları artar
Çözüm: Dönme dönüşümünde şeklin boyutları ve uzunlukları korunur. Köşegen uzunluklarının artması mümkün değildir, bu bir yanılgıdır.