Bir ikinci dereceden denklemin diskriminantı 36'dır. Bu denklemle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Kökler eşittir
B) Kökler gerçek değildir
C) Kökler rasyonel sayıdır
D) Gerçek ve farklı iki kökü vardır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruyu çözmek için, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin doğası ile diskriminant arasındaki ilişkiyi hatırlamamız gerekiyor. Bir $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki ikinci dereceden denklemin diskriminantı $\Delta$ (delta) ile gösterilir ve $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır.
Diskriminantın değeri, denklemin köklerinin türünü belirler:
- Adım 1: Diskriminantın Anlamı
- Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçek (reel) kökü vardır.
- Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki gerçek (reel) kökü vardır (çakışık kökler).
- Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökleri yoktur; iki farklı karmaşık (sanal) kökü vardır.
- Adım 2: Verilen Bilgiyi Uygulama
- Soruda, bir ikinci dereceden denklemin diskriminantının 36 olduğu belirtilmiştir. Yani, $\Delta = 36$.
- Adım 3: Diskriminantın Değerini Yorumlama
- $\Delta = 36$ olduğu için, diskriminantın değeri sıfırdan büyüktür ($36 > 0$).
- Yukarıdaki kurallara göre, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda denklemin "gerçek ve farklı iki kökü" vardır.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme
- A) Kökler eşittir: Bu durum $\Delta = 0$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $\Delta = 36 \neq 0$ olduğu için bu seçenek yanlıştır.
- B) Kökler gerçek değildir: Bu durum $\Delta < 0$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $\Delta = 36 > 0$ olduğu için bu seçenek yanlıştır.
- C) Kökler rasyonel sayıdır: Köklerin rasyonel olması için iki koşulun sağlanması gerekir: 1) Diskriminant bir tam kare olmalıdır. 2) Denklemin katsayıları ($a, b, c$) rasyonel sayılar olmalıdır. Evet, 36 bir tam karedir ($6^2$). Ancak, denklemin katsayılarının rasyonel olup olmadığı hakkında bize bilgi verilmemiştir. Örneğin, $x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{4} = 0$ denkleminde $\Delta = (-\sqrt{2})^2 - 4(1)(\frac{1}{4}) = 2 - 1 = 1$ (bir tam kare). Ancak kökler $x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm 1}{2}$ olup irrasyoneldir. Bu nedenle, köklerin rasyonel olduğu kesinlikle söylenemez.
- D) Gerçek ve farklı iki kökü vardır: Bu durum $\Delta > 0$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $\Delta = 36 > 0$ olduğu için bu seçenek kesinlikle doğrudur.
Cevap D seçeneğidir.
