Parabol Tepe Değeri Test 1

Bir firma, ürettiği ürünlerin satış fiyatı x TL olmak üzere günlük kârının f(x) = -2x² + 80x - 600 fonksiyonu ile modellendiğini belirlemiştir.
Buna göre bu firmanın maksimum kâra ulaşabilmesi için ürünlerin satış fiyatı kaç TL olmalıdır?

A) 20
B) 25
C) 30
D) 35

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir firmanın günlük kârını gösteren bir fonksiyon verilmiş ve bizden maksimum kâra ulaşmak için ürünlerin satış fiyatının ne olması gerektiği isteniyor. Gelin bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Fonksiyonu Tanıyalım

  Bize verilen kâr fonksiyonu $f(x) = -2x^2 + 80x - 600$ şeklindedir. Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Genel olarak $ax^2 + bx + c$ şeklinde yazılır. Bu fonksiyonda $a = -2$, $b = 80$ ve $c = -600$'dür.

• Adım 2: Maksimum Değeri Anlayalım

  İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Eğer $x^2$'nin katsayısı ($a$) negatif ise (bizim durumumuzda $a = -2$, yani negatif), parabolün kolları aşağıya doğru bakar. Kolları aşağıya doğru bakan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değeri temsil eder.

  Bizim amacımız da bu maksimum kârı sağlayan satış fiyatını ($x$) bulmak.

• Adım 3: Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulma Formülü

  Bir parabolün tepe noktasının x-koordinatını bulmak için kullandığımız özel bir formül vardır: $x = \frac{-b}{2a}$.

  Bu $x$ değeri, fonksiyonun maksimum veya minimum değerini aldığı noktayı (bizim durumumuzda satış fiyatını) gösterir.

• Adım 4: Değerleri Formülde Yerine Koyalım

  Fonksiyonumuz $f(x) = -2x^2 + 80x - 600$ idi. Buradan $a = -2$ ve $b = 80$ olduğunu biliyoruz. Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $x = \frac{-80}{2 \cdot (-2)}$

  $x = \frac{-80}{-4}$

  $x = 20$

• Adım 5: Sonucu Yorumlayalım

  Bulduğumuz $x = 20$ değeri, firmanın maksimum kâra ulaşabilmesi için ürünlerin satış fiyatının kaç TL olması gerektiğini gösterir.

  Yani, ürünler 20 TL'den satıldığında firma en yüksek kârı elde edecektir.

Cevap A seçeneğidir.