Düşey asimptot nedir Test 1

m(x) = (x³ - 8)/(x² - 4) fonksiyonunun x = 2 noktasındaki durumu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Düşey asimptot vardır
B) Sadece noktada süreksizlik vardır
C) Süreklidir
D) Yatay asimptot vardır

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, verilen bir rasyonel fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışını inceleyeceğiz. Fonksiyonun süreklilik, süreksizlik veya asimptot durumlarını anlamak için adım adım ilerleyelim.

• 1. Adım: Fonksiyonu ve İnceleme Noktasını Belirleme

Verilen fonksiyon $m(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ ve bizden $x = 2$ noktasındaki durumu incelememiz isteniyor.

• 2. Adım: Fonksiyonun Tanım Kümesini İnceleme

Rasyonel bir fonksiyonun (kesirli bir fonksiyonun) tanımsız olduğu noktalar, paydanın sıfır olduğu noktalardır. Paydayı sıfıra eşitleyerek bu noktaları bulalım:

• $x^2 - 4 = 0$
• Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak, $(x - 2)(x + 2) = 0$ olur.
• Buradan $x = 2$ veya $x = -2$ bulunur.

Bu demektir ki, fonksiyon $x = 2$ ve $x = -2$ noktalarında tanımsızdır. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması gerekir. Fonksiyon $x = 2$ noktasında tanımlı olmadığı için, kesinlikle sürekli değildir. Bu durumda C seçeneği (Süreklidir) elenir.

• 3. Adım: $x = 2$ Noktasında Fonksiyon Değerini Hesaplama Girişimi

$x = 2$ değerini fonksiyonda yerine koymaya çalışalım:

• Pay: $2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$
• Payda: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Sonuç $\frac{0}{0}$ belirsizliğidir. Bu belirsizlik durumu, $x = 2$ noktasında bir düşey asimptot olabileceği gibi, aynı zamanda giderilebilir bir süreksizlik (yani bir "boşluk" veya "delik") olabileceğini de gösterir. Bu durumu netleştirmek için fonksiyonu sadeleştirmemiz gerekir.

• 4. Adım: Fonksiyonu Sadeleştirme

Belirsizliği gidermek ve fonksiyonun gerçek davranışını anlamak için pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

• Pay (küp farkı formülü $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ kullanılarak):
• $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
• Payda (iki kare farkı formülü $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ kullanılarak):
• $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Şimdi fonksiyonu bu çarpanlarına ayrılmış halleriyle tekrar yazalım:

• $m(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$

$x \neq 2$ olmak üzere, $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Bu sadeleştirme, $x=2$ noktasında bir "boşluk" olduğunu gösterir:

• $m(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ (Bu sadeleştirilmiş ifade $x \neq 2$ için geçerlidir.)
• 5. Adım: Sadeleştirilmiş Fonksiyonun $x = 2$ Noktasındaki Limitini Bulma

Şimdi $x \to 2$ için sadeleştirilmiş fonksiyonun limitini hesaplayalım. Sadeleştirilmiş ifadede $x=2$ yerine konulduğunda artık bir belirsizlik oluşmaz:

• $\lim_{x \to 2} m(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$
• $x = 2$ değerini yerine koyarsak:
• $\frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Limit değeri $3$ olarak bulunmuştur. Bu, $x=2$ noktasında fonksiyonun bir limite sahip olduğu anlamına gelir.

• 6. Adım: Sonuçları Değerlendirme ve Seçeneklerle Karşılaştırma
• Fonksiyon $x = 2$ noktasında tanımsızdır ($m(2)$ mevcut değil). Bu yüzden sürekli değildir (C seçeneği yanlış).
• Ancak, $x = 2$ noktasında fonksiyonun limiti mevcuttur ve $3$'e eşittir. Bir fonksiyonun bir noktada tanımsız olup, o noktada limitinin mevcut olması durumu, "giderilebilir süreksizlik" veya "nokta süreksizliği" olarak adlandırılır. Bu durumda fonksiyonun grafiğinde o noktada bir "boşluk" veya "delik" bulunur (B seçeneği doğru).
• Düşey asimptot olması için limitin $\pm \infty$ olması gerekirdi. Bizim durumumuzda limit $3$ olduğu için düşey asimptot yoktur (A seçeneği yanlış). (Not: Bu fonksiyonun $x = -2$ noktasında düşey asimptotu vardır, çünkü sadeleşmiş fonksiyonda payda sıfır olurken pay sıfır olmaz.)
• Yatay asimptotlar, $x \to \pm \infty$ iken fonksiyonun davranışını inceler. Bu soru belirli bir nokta ($x=2$) hakkındadır, bu yüzden yatay asimptot bu noktanın durumuyla doğrudan ilgili değildir (D seçeneği yanlış).

Cevap B seçeneğidir.