Türevin geometrik yorumu nedir Test 1

f(x) = 3x² - 12x + 5 eğrisine çizilen ve eğimi 0 olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi ile ilgili temel bir türev uygulamasını çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim ve konuyu daha iyi anlayalım.

• 1. Adım: Teğet Doğrusunun Eğimi ve Türev İlişkisi

  Bir eğriye herhangi bir noktada çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsis değerinde fonksiyonun türevinin değerine eşittir. Yani, $f(x)$ fonksiyonunun türevi olan $f'(x)$, teğet doğrusunun eğimini verir.

• 2. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulma

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$. Şimdi bu fonksiyonun türevini alalım:

  • $x^n$ teriminin türevi $n \cdot x^{n-1}$ şeklindedir.
  • Sabit bir sayının türevi $0$'dır.

  Bu kuralları uygulayarak $f(x)$'in türevini (eğim fonksiyonunu) bulalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(5)$

  $f'(x) = 3 \cdot (2x^{2-1}) - 12 \cdot (1x^{1-1}) + 0$

  $f'(x) = 6x - 12$

  Bu $f'(x)$ ifadesi, eğrinin herhangi bir $x$ noktasındaki teğetinin eğimini temsil eder.

• 3. Adım: Eğimi Verilen Değere Eşitleme

  Soruda teğet doğrusunun eğiminin $0$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, bulduğumuz türev ifadesini $0$'a eşitlemeliyiz:

  $f'(x) = 0$

  $6x - 12 = 0$

• 4. Adım: Değme Noktasının Apsisini Bulma

  Şimdi bu denklemi çözerek $x$ değerini bulalım. Bu $x$ değeri, eğimi $0$ olan teğet doğrusunun eğriye değdiği noktanın apsisidir.

  $6x = 12$

  $x = \frac{12}{6}$

  $x = 2$

  Buna göre, eğimi $0$ olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi $2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.