$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x}{\cos x} + 3 = 0$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\{x | x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, trigonometrik bir denklemi çözerek çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Denklemi Sadeleştirme
Verilen denklem $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x}{\cos x} + 3 = 0$ şeklindedir.
Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$'tir. Bu durumda, $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \tan^2 x$ olur.
Denklemde bu özdeşlikleri yerine yazarsak:
$\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$
Bu noktada, $\cos x \neq 0$ yani $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) olması gerektiğini unutmayalım. Ancak, bulacağımız çözümler bu koşulu sağlamaktadır.
Adım 2: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
Elde ettiğimiz denklem, $\tan x$ cinsinden ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. $\tan x = u$ dersek, denklem $u^2 - 4u + 3 = 0$ olur.
Bu ifadeyi çarpanlara ayırırsak:
$(u - 1)(u - 3) = 0$
Şimdi $u$ yerine tekrar $\tan x$ yazalım:
$(\tan x - 1)(\tan x - 3) = 0$
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Yani:
$\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = 1$ veya
$\tan x - 3 = 0 \implies \tan x = 3$
Adım 3: $\tan x = 1$ Denklemini Çözme
$\tan x = 1$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerini bulalım. Tanjant değeri $1$ olan bilinen açı $\frac{\pi}{4}$'tür (yani $45^\circ$).
Tanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, $\tan x = \tan \alpha$ denkleminin genel çözümü $x = \alpha + k\pi$ şeklindedir, burada $k \in \mathbb{Z}$ bir tam sayıdır.
Bu durumda, $\tan x = 1$ denkleminin çözüm kümesi:
$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
Adım 4: $\tan x = 3$ Denklemini Çözme
Şimdi de $\tan x = 3$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerini bulalım. $3$ değeri özel bir açının tanjantı değildir. Bu tür durumlarda ters trigonometrik fonksiyon olan $\arctan$ (arktanjant) kullanırız.
$\tan x = 3$ ise, $x = \arctan 3$ olur.
Tanjant fonksiyonunun periyodu yine $\pi$ olduğundan, genel çözüm:
$x = \arctan 3 + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
Adım 5: Çözüm Kümelerini Birleştirme
Denklemin çözüm kümesi, bulduğumuz iki çözüm kümesinin birleşimidir:
Çözüm kümesi $= \{x | x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ veya } x = \arctan 3 + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
Bu çözüm kümesi, seçenekler arasında C seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
