Açık aralık nedir Test 1

f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş açık aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 2)
B) (2, 4)
C) (-∞, 2)
D) (2, ∞)

Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için o fonksiyonun türevini alıp, türevin negatif olduğu aralıkları incelememiz gerekir. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulalım.

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için ilk türevini almamız gerekir. Türev, fonksiyonun eğimini gösterir ve eğim negatif olduğunda fonksiyon azalandır.

  Türev kurallarını uygulayarak $f(x)$'in türevini, yani $f'(x)$'i bulalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3)$

  $f'(x) = 2x - 4$

• Adım 2: Türevin İşaretini İnceleyelim.

  Bir fonksiyonun azalan olduğu aralık, türevinin negatif olduğu aralıktır. Yani, $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Bu eşitsizliği çözerek hangi $x$ değerleri için türevin negatif olduğunu bulacağız.

  $2x - 4 < 0$

• Adım 3: Eşitsizliği Çözelim.

  Şimdi $2x - 4 < 0$ eşitsizliğini $x$ için çözelim:

  Öncelikle $-4$'ü eşitsizliğin diğer tarafına atalım:

  $2x < 4$

  Şimdi her iki tarafı $2$'ye bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:

  $x < 2$

• Adım 4: Sonucu Yorumlayalım ve Azalan Aralığı Belirleyelim.

  Bulduğumuz $x < 2$ eşitsizliği, fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralığı gösterir. Bu da demek oluyor ki, $x$ değerleri $2$'den küçük olduğunda fonksiyon azalandır.

  Matematiksel olarak $x < 2$ aralığı $(-\infty, 2)$ şeklinde ifade edilir. Bu aralık, eksi sonsuzdan $2$'ye kadar olan tüm sayıları kapsar (ancak $2$ dahil değildir, çünkü $x=2$ noktasında türev sıfırdır ve fonksiyonun eğimi değişir).

Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş açık aralık $(-\infty, 2)$'dir.

Cevap C seçeneğidir.