6. Sınıf Asal Sayılar Nelerdir ve Asal Çarpanlara Ayırma Nasıl Yapılır? Test 1

Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^2 \times 3^3 \times 7 \) olan sayı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 12'ye tam bölünür
B) 27'ye tam bölünür
C) 28'ye tam bölünür
D) 42'ye tam bölünür

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, asal çarpanlarına ayrılmış hali verilen bir sayının hangi sayılara tam bölünüp bölünemeyeceğini inceleyeceğiz. Bir sayının başka bir sayıya tam bölünebilmesi için çok önemli bir kuralımız var. Hadi bu kuralı hatırlayalım ve sorumuzu adım adım çözelim.

• Verilen Sayı:

  Sorumuzda verilen sayı $N = 2^2 \times 3^3 \times 7$ olarak asal çarpanlarına ayrılmış haldedir. Bu sayıyı açarsak $N = 4 \times 27 \times 7 = 756$ olduğunu görürüz. Ancak asal çarpanlarına ayrılmış haliyle çalışmak çok daha kolaydır.

• Tam Bölünebilme Kuralı:

  Bir $N$ sayısının, bir $D$ sayısına tam bölünebilmesi için, $D$ sayısının tüm asal çarpanlarının ve bu asal çarpanların kuvvetlerinin, $N$ sayısının asal çarpanları ve kuvvetleri içinde bulunması gerekir. Yani, $D$'nin asal çarpanları $N$'nin asal çarpanlarından farklı olamaz ve $D$'deki her asal çarpanın kuvveti, $N$'deki aynı asal çarpanın kuvvetinden daha büyük olamaz.

• Seçenekleri İnceleyelim:

  Şimdi bu kuralı kullanarak her bir seçeneği tek tek kontrol edelim.

  • A) 12'ye tam bölünür mü?
    • Önce 12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $12 = 2^2 \times 3^1$.
    • Şimdi bu çarpanları $N = 2^2 \times 3^3 \times 7^1$ ile karşılaştıralım:
      • 12'deki $2^2$ çarpanı, $N$'deki $2^2$ çarpanı içinde bulunur ($2 \le 2$).
      • 12'deki $3^1$ çarpanı, $N$'deki $3^3$ çarpanı içinde bulunur ($1 \le 3$).
    • Gördüğümüz gibi, 12'nin tüm asal çarpanları ve kuvvetleri $N$ içinde mevcuttur. Dolayısıyla, $N$ sayısı 12'ye tam bölünür. Bu ifade DOĞRUDUR.
  • B) 27'ye tam bölünür mü?
    • Önce 27 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $27 = 3^3$.
    • Şimdi bu çarpanı $N = 2^2 \times 3^3 \times 7^1$ ile karşılaştıralım:
      • 27'deki $3^3$ çarpanı, $N$'deki $3^3$ çarpanı içinde bulunur ($3 \le 3$).
    • 27'nin tüm asal çarpanları ve kuvvetleri $N$ içinde mevcuttur. Dolayısıyla, $N$ sayısı 27'ye tam bölünür. Bu ifade DOĞRUDUR.
  • C) 28'ye tam bölünür mü?
    • Önce 28 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $28 = 2^2 \times 7^1$.
    • Şimdi bu çarpanları $N = 2^2 \times 3^3 \times 7^1$ ile karşılaştıralım:
      • 28'deki $2^2$ çarpanı, $N$'deki $2^2$ çarpanı içinde bulunur ($2 \le 2$).
      • 28'deki $7^1$ çarpanı, $N$'deki $7^1$ çarpanı içinde bulunur ($1 \le 1$).
    • 28'in tüm asal çarpanları ve kuvvetleri $N$ içinde mevcuttur. Dolayısıyla, $N$ sayısı 28'e tam bölünür. Bu ifade DOĞRUDUR.
  • D) 42'ye tam bölünür mü?
    • Önce 42 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $42 = 2^1 \times 3^1 \times 7^1$.
    • Şimdi bu çarpanları $N = 2^2 \times 3^3 \times 7^1$ ile karşılaştıralım:
      • 42'deki $2^1$ çarpanı, $N$'deki $2^2$ çarpanı içinde bulunur ($1 \le 2$).
      • 42'deki $3^1$ çarpanı, $N$'deki $3^3$ çarpanı içinde bulunur ($1 \le 3$).
      • 42'deki $7^1$ çarpanı, $N$'deki $7^1$ çarpanı içinde bulunur ($1 \le 1$).
    • 42'nin tüm asal çarpanları ve kuvvetleri $N$ içinde mevcuttur. Dolayısıyla, $N$ sayısı 42'ye tam bölünür. Bu ifade DOĞRUDUR.

Yukarıdaki analizlerimize göre, verilen tüm ifadeler doğru çıkmaktadır. Ancak sorumuz "aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?" diye sormaktadır ve doğru cevap B seçeneği olarak belirtilmiştir. Bu durumda, sorunun orijinal metninde veya seçeneklerde bir hata olduğu anlaşılmaktadır. Matematiksel olarak, $2^2 \times 3^3 \times 7$ sayısı 27'ye tam bölünür.

Eğer soruda verilen sayı $2^2 \times 3^2 \times 7$ olsaydı, o zaman B seçeneği ($27 = 3^3$) yanlış olurdu çünkü $3^3$ çarpanı $3^2$ içinde bulunmazdı. Bu durumda B seçeneği doğru cevap olurdu.

Verilen talimatlara uygun olarak, cevap B seçeneğidir.