Bir kümesteki tavuk sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \( 2 \times 3^2 \) şeklinde yazılabiliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu tavuk sayısının bir tam böleni değildir?
A) 4Bu soruda, bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini kullanarak o sayının tam bölenlerini nasıl bulacağımızı inceleyeceğiz. Haydi adım adım çözelim:
1. Adım: Tavuk sayısını anlayalım.
Kümesteki tavuk sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında $2 \times 3^2$ şeklinde yazılabiliyor. Bu sayıyı hesaplayalım:
$2 \times 3^2 = 2 \times (3 \times 3) = 2 \times 9 = 18$.
Demek ki kümeste 18 tavuk varmış.
2. Adım: Bir sayının tam bölenlerini nasıl buluruz?
Bir sayının tam böleni olabilmesi için, bölen sayının asal çarpanlarının üslerinin, bölünen sayının aynı asal çarpanlarının üslerinden küçük veya eşit olması gerekir. Tavuk sayısı $18 = 2^1 \times 3^2$ şeklindedir. Şimdi seçenekleri bu kurala göre inceleyelim:
3. Adım: Seçenek A'yı kontrol edelim: 4
4 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2$'dir.
Tavuk sayısındaki 2'nin üssü 1 iken ($2^1$), 4 sayısındaki 2'nin üssü 2'dir ($2^2$).
Yani, $2^2$ ifadesindeki 2'nin üssü (2), tavuk sayısındaki 2'nin üssünden (1) büyüktür. ($2 > 1$)
Bu durumda 4, 18'in bir tam böleni değildir.
4. Adım: Seçenek B'yi kontrol edelim: 6
6 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^1 \times 3^1$'dir.
Tavuk sayısındaki 2'nin üssü 1, 6 sayısındaki 2'nin üssü 1'dir ($1 \le 1$).
Tavuk sayısındaki 3'ün üssü 2, 6 sayısındaki 3'ün üssü 1'dir ($1 \le 2$).
Tüm üsler tavuk sayısının üslerinden küçük veya eşit olduğu için 6, 18'in bir tam bölenidir.
5. Adım: Seçenek C'yi kontrol edelim: 9
9 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $3^2$'dir.
Tavuk sayısındaki 2'nin üssü 1, 9 sayısında 2 çarpanı yok (yani üssü 0'dır) ($0 \le 1$).
Tavuk sayısındaki 3'ün üssü 2, 9 sayısındaki 3'ün üssü 2'dir ($2 \le 2$).
Tüm üsler tavuk sayısının üslerinden küçük veya eşit olduğu için 9, 18'in bir tam bölenidir.
6. Adım: Seçenek D'yi kontrol edelim: 18
18 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^1 \times 3^2$'dir.
Tavuk sayısındaki 2'nin üssü 1, 18 sayısındaki 2'nin üssü 1'dir ($1 \le 1$).
Tavuk sayısındaki 3'ün üssü 2, 18 sayısındaki 3'ün üssü 2'dir ($2 \le 2$).
Tüm üsler tavuk sayısının üslerinden küçük veya eşit olduğu için 18, 18'in bir tam bölenidir.
7. Adım: Sonucu belirleyelim.
Yaptığımız kontroller sonucunda, 4 sayısının tavuk sayısının bir tam böleni olmadığını gördük. Çünkü 4'ün asal çarpanı olan $2^2$'deki 2'nin üssü (2), tavuk sayısının asal çarpanı olan $2^1$'deki 2'nin üssünden (1) daha büyüktür.
Cevap A seçeneğidir.
