Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir fonksiyonun özelliklerini inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 3$. Şimdi her bir seçeneği adım adım değerlendirelim:
Bir rasyonel fonksiyonun düşey asimptotu, paydasını sıfır yapan $x$ değeridir. Fonksiyonumuzda payda $x - 2$'dir. Paydayı sıfıra eşitleyelim:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Yani düşey asimptot $x = 2$'dir. Bu nedenle A seçeneği yanlıştır.
Genel olarak, $f(x) = \frac{k}{x - a} + b$ şeklindeki fonksiyonların yatay asimptotu $y = b$'dir. Bizim fonksiyonumuzda $b = 3$'tür.
Dolayısıyla, yatay asimptot $y = 3$'tür. Bu nedenle B seçeneği yanlıştır.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadan geçip geçmediğini anlamak için, noktanın $x$ değerini fonksiyonda yerine koyarız ve çıkan sonucun noktanın $y$ değerine eşit olup olmadığını kontrol ederiz. $(3, 4)$ noktası için $x = 3$ değerini fonksiyonda yerine yazalım:
$f(3) = \frac{1}{3 - 2} + 3$
$f(3) = \frac{1}{1} + 3$
$f(3) = 1 + 3$
$f(3) = 4$.
Gördüğümüz gibi, $x = 3$ için $f(x)$ değeri $4$ çıktı. Bu da fonksiyonun $(3, 4)$ noktasından geçtiği anlamına gelir. Bu nedenle C seçeneği doğrudur.
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu tüm $x$ değerleridir. Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz. Paydamız $x - 2$ olduğundan, $x - 2 \neq 0$ olmalıdır.
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Yani tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{2\}$'dir. Bu nedenle D seçeneği yanlıştır.
Görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerleridir. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 3$. Burada $\frac{1}{x - 2}$ ifadesi hiçbir zaman $0$ olamaz (çünkü pay $1$'dir). Bu durumda, $f(x)$ hiçbir zaman $0 + 3 = 3$ olamaz.
Yani görüntü kümesi $\mathbb{R} \setminus \{3\}$'tür (yatay asimptotun $y$ değeri görüntü kümesinden çıkarılır). Bu nedenle E seçeneği yanlıştır.
Cevap C seçeneğidir.
