9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıklarının Gösteriminde ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Küme Sembol ve İşlemleri Nedir? Test 1

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x-2| < 3\}$ ve $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 16\}$ kümeleri veriliyor. $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-4, 5)$
B) $(-1, 4]$
C) $[-4, -1) \cup (5, 4]$
D) $(-1, 5)$

Verilen kümelerin kesişimini bulmak için öncelikle her bir kümeyi ayrı ayrı inceleyelim.

• A kümesini inceleyelim: $|x-2| < 3$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Mutlak değerin tanımından, bu eşitsizlik $-3 < x-2 < 3$ anlamına gelir. Her tarafa 2 eklersek, $-3 + 2 < x < 3 + 2$ elde ederiz, yani $-1 < x < 5$. Bu durumda $A = (-1, 5)$ olur.
• B kümesini inceleyelim: $x^2 \le 16$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Bu eşitsizlik, $-\sqrt{16} \le x \le \sqrt{16}$ anlamına gelir, yani $-4 \le x \le 4$. Bu durumda $B = [-4, 4]$ olur.
• A ve B kümelerinin kesişimini bulalım: $A \cap B = (-1, 5) \cap [-4, 4]$. Bu, hem A kümesinde hem de B kümesinde bulunan elemanların kümesidir. A kümesi -1 ile 5 arasındaki tüm reel sayıları (uç noktalar hariç) içerirken, B kümesi -4 ile 4 arasındaki tüm reel sayıları (uç noktalar dahil) içerir. Kesişim, -1 ile 4 arasındaki tüm reel sayıları içerir. -1, A kümesine ait olduğu için kesişimde de açık aralık olarak kalır. 4, B kümesine ait olduğu için kesişimde kapalı aralık olarak kalır. Dolayısıyla $A \cap B = (-1, 4]$ olur.

Cevap B seçeneğidir.