9. Sınıf İki Kare Farkı Özdeşliği Nedir? Test 1

\( 121a^2 - 49b^2 \) ifadesiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) İki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılabilir.
B) \( (11a - 7b)(11a + 7b) \) şeklinde yazılabilir.
C) \( a = 2 \), \( b = 1 \) için değeri 435'tir.
D) \( a \) ve \( b \) gerçek sayılar olduğunda her zaman pozitif bir değer alır.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen cebirsel ifadenin özelliklerini inceleyerek hangi seçeneğin yanlış olduğunu bulacağız. İfade $121a^2 - 49b^2$ şeklindedir.

• A) İki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılabilir.

  İfadeyi inceleyelim: $121a^2 - 49b^2$.

  $121a^2$ ifadesi $(11a)^2$ olarak yazılabilir, çünkü $11^2 = 121$.

  $49b^2$ ifadesi $(7b)^2$ olarak yazılabilir, çünkü $7^2 = 49$.

  Dolayısıyla, ifade $(11a)^2 - (7b)^2$ şeklini alır. Bu, $x^2 - y^2$ biçiminde bir ifadedir ve "iki kare farkı özdeşliği" olarak bilinir. Bu özdeşlik $(x - y)(x + y)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.

  Bu nedenle, A seçeneği doğrudur.

• B) $(11a - 7b)(11a + 7b)$ şeklinde yazılabilir.

  A seçeneğinde açıkladığımız gibi, $121a^2 - 49b^2$ ifadesi $(11a)^2 - (7b)^2$ olarak yazılabilir.

  İki kare farkı özdeşliğini ($x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$) kullanarak, burada $x = 11a$ ve $y = 7b$ olduğundan, ifade $(11a - 7b)(11a + 7b)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.

  Bu nedenle, B seçeneği de doğrudur.

• C) $a = 2$, $b = 1$ için değeri 435'tir.

  Verilen $a = 2$ ve $b = 1$ değerlerini orijinal ifadeye, yani $121a^2 - 49b^2$ ifadesine yerleştirelim:

  $121(2)^2 - 49(1)^2$

  $121(4) - 49(1)$

  $484 - 49$

  $435$

  Bu nedenle, C seçeneği doğrudur.

• D) $a$ ve $b$ gerçek sayılar olduğunda her zaman pozitif bir değer alır.

  Bu ifadenin her zaman pozitif olup olmadığını kontrol edelim. Bir ifadenin "her zaman pozitif" olması, hiçbir zaman sıfır veya negatif bir değer alamayacağı anlamına gelir.

  İfade $121a^2 - 49b^2$'dir.

  Örneğin, $a = 1$ ve $b = 2$ değerlerini deneyelim:

  $121(1)^2 - 49(2)^2$

  $121(1) - 49(4)$

  $121 - 196$

  $-75$

  Gördüğümüz gibi, $a = 1$ ve $b = 2$ için ifadenin değeri $-75$ çıktı. Bu değer pozitif değildir, negatiftir.

  Ayrıca, ifadenin sıfır olabileceği durumlar da vardır. Örneğin, $11a = 7b$ olduğunda (yani $a=7$, $b=11$ gibi), $121a^2 - 49b^2 = (11a)^2 - (7b)^2 = (7b)^2 - (7b)^2 = 0$ olur.

  Bu durumlar, ifadenin her zaman pozitif olmadığını gösterir.

  Bu nedenle, D seçeneği yanlıştır.

Cevap D seçeneğidir.