Bir üretici, kare şeklindeki bir levhayı, alanı \( 25y^2 \) birimkare olan daha küçük bir kare parçayı kesip çıkararak işliyor. Levhanın başlangıçtaki alanı \( 169x^2 \) birimkare olduğuna göre, kalan parçanın alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (13x - 5y)^2 \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir levhadan bir parça kesildikten sonra geriye kalan alanı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Bir üretici, kare şeklindeki bir levhayı işliyor. Bu levhanın başlangıçtaki alanı $169x^2$ birimkare olarak verilmiş. Daha sonra bu levhadan, alanı $25y^2$ birimkare olan daha küçük kare bir parça kesip çıkarılıyor. Bizden istenen, bu kesme işleminden sonra geriye kalan parçanın alanını veren matematiksel ifadeyi bulmak.
Soruda bize levhanın başlangıçtaki alanının $169x^2$ birimkare olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu, bizim elimizdeki toplam alandır.
Yine soruda, levhadan kesilip çıkarılan küçük kare parçanın alanının $25y^2$ birimkare olduğu verilmiştir. Bu miktar, toplam alandan eksilecek olan kısımdır.
Bir bütünden bir parça çıkarıldığında, geriye kalan miktarı bulmak için çıkarma işlemi yaparız. Yani, kalan alan, başlangıçtaki alandan kesilen alanın çıkarılmasıyla bulunur.
Kalan Alan = (Başlangıçtaki Alan) - (Kesilen Alan)
Bu değerleri yerine yazarsak:
Kalan Alan $= 169x^2 - 25y^2$
Şimdi bulduğumuz ifadeyi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
Hesaplamalarımız sonucunda kalan alanın ifadesinin $169x^2 - 25y^2$ olduğunu bulduk. Bu ifade, doğrudan C seçeneğinde yer almaktadır.
Ek bilgi olarak, bu ifade aynı zamanda "iki kare farkı" özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Çünkü $169x^2 = (13x)^2$ ve $25y^2 = (5y)^2$'dir. Dolayısıyla, $169x^2 - 25y^2 = (13x)^2 - (5y)^2 = (13x - 5y)(13x + 5y)$ şeklinde de yazılabilir. Ancak soru, kalan alanı veren ifadeyi sorduğu için, çıkarma işleminin doğrudan sonucu olan $169x^2 - 25y^2$ en uygun ve doğrudan cevaptır.
Cevap C seçeneğidir.
