\( 16x^2 - 25y^2 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (4x-5y)(4x+5y) \)Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmak için iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız. İki kare farkı özdeşliği, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ şeklindedir.
Öncelikle, verilen ifade olan $16x^2 - 25y^2$ ifadesindeki terimleri kare şeklinde yazalım.
Birinci terim $16x^2$ için, $16$ sayısı $4$'ün karesi ve $x^2$ de $x$'in karesi olduğundan, $16x^2 = (4x)^2$ şeklinde yazılır.
İkinci terim $25y^2$ için, $25$ sayısı $5$'in karesi ve $y^2$ de $y$'nin karesi olduğundan, $25y^2 = (5y)^2$ şeklinde yazılır.
Şimdi ifademizi bu kareli halleriyle tekrar yazalım: $(4x)^2 - (5y)^2$.
Bu ifade, $a^2 - b^2$ formuna uymaktadır. Burada $a = 4x$ ve $b = 5y$ olarak düşünebiliriz.
İki kare farkı özdeşliğini uygulayarak $(a-b)(a+b)$ formülünü kullanalım:
$(4x)^2 - (5y)^2 = (4x - 5y)(4x + 5y)$
Böylece, $16x^2 - 25y^2$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali $(4x - 5y)(4x + 5y)$ olarak bulunur.
Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $(4x-5y)(4x+5y)$
B) $(8x-5y)(8x+5y)$
C) $(16x-25y)(16x+25y)$
D) $(4x-25y)(4x+25y)$
Bulduğumuz sonuç A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
