Soru:
Bir sepetteki elmaları 4'er 4'er saydığımızda 3 elma, 5'er 5'er saydığımızda 4 elma artıyor. Sepetteki elma sayısı 100'den az olduğuna göre, sepette en fazla kaç elma vardır?
Çözüm:
💡 Bu problem, bir sayının belirli bölenlere göre kalanlarını verdiği için Çin Kalan Teoremi veya modüler aritmetikle çözülebilir. Elma sayısına \( E \) diyelim.
- ➡️ Koşulları Yazalım: Problem bize şunu söylüyor:
\( E \equiv 3 \pmod{4} \) (4'e bölümünden kalan 3)
\( E \equiv 4 \pmod{5} \) (5'e bölümünden kalan 4)
- ➡️ Ortak Çözümü Bulma: İkinci koşulu düşünelim: \( E = 5k + 4 \) (k bir tam sayı). Bunu birinci denklemde yerine koyalım:
\( 5k + 4 \equiv 3 \pmod{4} \) -> \( 5k \equiv -1 \pmod{4} \) -> \( 5k \equiv 3 \pmod{4} \) (Çünkü -1, mod 4'te 3'e eşdeğerdir).
\( 5 \equiv 1 \pmod{4} \) olduğundan, \( 1 \cdot k \equiv 3 \pmod{4} \) yani \( k \equiv 3 \pmod{4} \) sonucuna varırız.
- ➡️ Genel Formül: \( k = 4t + 3 \) yazabiliriz. Bunu \( E \)'nin formülünde yerine koyalım:
\( E = 5k + 4 = 5(4t + 3) + 4 = 20t + 15 + 4 = 20t + 19 \).
- ➡️ En Büyük Değeri Bulma: \( E < 100 \) ve \( E = 20t + 19 \). \( t \)'ye değer vererek 100'den küçük en büyük \( E \)'yi bulalım.
\( t=0 \) -> \( E=19 \)
\( t=1 \) -> \( E=39 \)
\( t=2 \) -> \( E=59 \)
\( t=3 \) -> \( E=79 \)
\( t=4 \) -> \( E=99 \)
\( t=5 \) -> \( E=119 \) (Bu, 100'ü aştığı için geçersiz).
✅ Sonuç: Sepetteki elma sayısı en fazla 99'dur.
