Soru:
\( \frac{3}{3} \) ve \( 0,\overline{9} \) sayılarının eşit olduğunu göstererek, bu sayıların hangi sayı kümelerine (\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)) ait olduğunu bulunuz.
Çözüm:
🤔 Öncelikle bu iki gösterimin aynı sayıya ait olup olmadığını kontrol edelim.
- ➡️ İlk Adım - Eşitlik Kontrolü: \( \frac{3}{3} \) işlemi sonucu direkt olarak 1'e eşittir. \( 0,\overline{9} \) ise sonsuz adette 9'un tekrar ettiği bir ondalık gösterimdir. Matematiksel olarak \( 0,\overline{9} = 1 \) olduğu ispatlanabilir. Örneğin, \(x = 0,\overline{9}\) dersek, \(10x = 9,\overline{9}\). İkinci denklemi birinciden çıkarırsak: \(10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9}\) → \(9x = 9\) → \(x = 1\). Dolayısıyla, her iki ifade de 1 sayısını temsil eder.
- ➡️ İkinci Adım - Sayı Kümelerine Aitlik: Şimdi 1 sayısını inceleyelim.
- \(\mathbb{N}\) (Doğal Sayılar): 1 bir doğal sayıdır. ✅ Evet.
- \(\mathbb{Z}\) (Tam Sayılar): 1 bir tam sayıdır. ✅ Evet.
- \(\mathbb{Q}\) (Rasyonel Sayılar): 1, \(\frac{1}{1}\) şeklinde iki tam sayının oranı olarak yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır. ✅ Evet.
- \(\mathbb{R}\) (Gerçek Sayılar): Tüm rasyonel sayılar aynı zamanda birer gerçek sayıdır. ✅ Evet.
✅ Sonuç: \( \frac{3}{3} = 0,\overline{9} = 1 \) olduğundan, bu sayı \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) ve \(\mathbb{R}\) kümelerinin tümüne aittir.
