Soru:
Aşağıdaki kümelerden hangisi veya hangileri arada olma özelliğine sahiptir?
- A = \( \{ x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3 \} \)
- B = \( \{ x \in \mathbb{Q} \mid 1 \leq x \leq 5 \} \)
- C = \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4 \} \)
Çözüm:
💡 Bir kümenin arada olma özelliğine sahip olması için, kümedeki herhangi iki farklı eleman \( a \) ve \( b \) için (\( a < b \) olmak üzere), \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \) elemanının da kümede bulunması gerekir.
- ➡️ A Kümesi: \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \). Bu bir tam sayı kümesidir. Örneğin, \( a = 0 \) ve \( b = 1 \) alalım. \( 0 < c < 1 \) koşulunu sağlayan bir tam sayı \( c \) yoktur. Bu nedenle A kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
- ➡️ B Kümesi: \( B = \{ x \in \mathbb{Q} \mid 1 \leq x \leq 5 \} \). Bu bir rasyonel sayı aralığıdır. Herhangi iki rasyonel sayı \( a \) ve \( b \) arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı (örneğin ortalamaları) vardır. Bu nedenle B kümesi arada olma özelliğine sahiptir.
- ➡️ C Kümesi: \( x^2 < 4 \) eşitsizliğinin çözümü \( -2 < x < 2 \) aralığıdır. Bu bir reel sayı aralığıdır. Reel sayılar kümesi arada olma özelliğine sahip olduğundan, bu aralık da bu özelliği taşır. Herhangi iki reel sayı arasında başka bir reel sayı bulunabilir. Bu nedenle C kümesi arada olma özelliğine sahiptir.
✅ Sonuç: Sadece B ve C kümeleri arada olma özelliğine sahiptir.
