Soru:
\( K = \{ x \in \mathbb{Q} \mid 0 \leq x \leq 1 \} \) kümesi arada olma özelliğine sahip midir? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için, kümenin tanımını ve "arada olma" şartını hatırlamalıyız.
- ➡️ Kümenin Tanımı: K kümesi, 0 ile 1 dahil olmak üzere, bu aralıktaki tüm rasyonel sayıları içerir. Yani \( K = [0,1] \cap \mathbb{Q} \).
- ➡️ Özelliği Test Edelim: Kümeden herhangi iki farklı rasyonel sayı alalım, örneğin \( a = 0.1 \) ve \( b = 0.2 \). Bu iki sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır (örneğin, 0.15). Bu sayılar da 0 ile 1 arasında olduğu ve rasyonel olduğu için K kümesinin elemanıdır.
- ➡️ Genel Durum: Herhangi iki rasyonel sayının arasında daima başka bir rasyonel sayı bulunabilir (örneğin, ortalamaları alınarak). Seçtiğimiz her \( a, b \in K \) için, \( a \) ile \( b \) arasındaki tüm rasyonel sayılar, tanım gereği 0 ile 1 arasında kalacak ve dolayısıyla K'nin elemanı olacaktır.
✅ Sonuç: Evet, \( K \) kümesi arada olma özelliğine sahiptir.
