Soru:
\( \mathbb{Q} \) (rasyonel sayılar kümesi) arada olma özelliğine sahip midir? Gösteriniz.
Çözüm:
💡 Rasyonel sayılar kümesinin arada olma özelliğine sahip olduğunu göstermek için, herhangi iki farklı rasyonel sayı alındığında, bu iki sayının arasında başka bir rasyonel sayının bulunabildiğini ispatlamalıyız.
- ➡️ İki farklı rasyonel sayı seçelim: \( a, b \in \mathbb{Q} \) ve \( a < b \) olsun.
- ➡️ Bu iki sayının arasındaki bir sayıyı bulmak için ortalamasını alabiliriz: \( c = \frac{a + b}{2} \).
- ➡️ \( a \) ve \( b \) rasyonel olduğundan, \( a+b \) de rasyoneldir. Bir rasyonel sayının 2'ye bölümü de yine bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla \( c \in \mathbb{Q} \) olur.
- ➡️ Ayrıca, \( a < b \) olduğundan, \( a < \frac{a+b}{2} < b \) eşitsizliği sağlanır. Yani \( c \), \( a \) ile \( b \) arasındadır.
✅ Sonuç: Herhangi iki rasyonel sayının arasında başka bir rasyonel sayı bulabildiğimiz için \( \mathbb{Q} \) kümesi arada olma özelliğine sahiptir.
