Soru:
\( K = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \} \) kümesi arada olma özelliğine sahip midir? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Kümenin elemanlarını yazalım: \( K = \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ... \} \). Bu küme, 0'a yakınsayan bir dizinin terimlerinden oluşur.
- ➡️ Arada Olma Özelliği Testi: Kümeden iki farklı eleman alalım. Örneğin, \( a = \frac{1}{2} \) ve \( b = \frac{1}{3} \). Görüldüğü gibi \( b < a \). Sıralamayı doğru yapalım: \( a = \frac{1}{3} \) ve \( b = \frac{1}{2} \) olsun (yani \( a < b \)).
- ➡️ Şimdi \( a < c < b \) yani \( \frac{1}{3} < c < \frac{1}{2} \) koşulunu sağlayan bir \( c \) elemanının K kümesinde olup olmadığına bakmalıyız. K kümesinin elemanları \( \frac{1}{n} \) formundadır. \( \frac{1}{3} < \frac{1}{n} < \frac{1}{2} \) eşitsizliğini sağlayan bir \( n \) doğal sayısı var mıdır? Bu eşitsizlik \( 2 < n < 3 \) anlamına gelir. 2 ile 3 arasında bir doğal sayı olmadığı için böyle bir \( n \) yoktur.
- ➡️ Dolayısıyla, \( a \) ve \( b \) arasında olan ve K kümesine ait bir \( c \) elemanı bulunamaz. Bu durum kümenin herhangi iki elemanı için geçerlidir (komşu terimler arasında başka bir küme elemanı yoktur).
✅ Sonuç: \( K \) kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
