Soru:
Aşağıdaki kümelerden hangisi veya hangileri arada olma özelliğine sahiptir?
- A = \( \{ x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3 \} \)
- B = \( \{ x \in \mathbb{N} \mid x < 5 \} \)
- C = \( \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \} \)
Çözüm:
💡 Bir kümenin arada olma özelliğine sahip olması için, kümedeki herhangi iki farklı eleman için, bu iki elemanın arasında kalan ve yine aynı kümeye ait başka bir elemanın bulunması gerekir. Yani küme yoğun olmalıdır.
- ➡️ A Kümesi: A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}. -2 ve -1 elemanlarını alalım. Bu iki elemanın arasında başka bir tam sayı yoktur. Bu nedenle A kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
- ➡️ B Kümesi: B = \{0, 1, 2, 3, 4\}. 1 ve 2 elemanlarını alalım. Bu iki elemanın arasında başka bir doğal sayı yoktur. Bu nedenle B kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
- ➡️ C Kümesi: C = \( \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\} \). \(\frac{1}{2}\) ve \(\frac{1}{3}\) elemanlarını alalım. Bu iki elemanın arasında, örneğin \(\frac{2}{5}\) gibi bir rasyonel sayı vardır ancak \(\frac{2}{5}\) bu kümenin bir elemanı değildir (\(\frac{1}{n}\) formunda yazılamaz). Herhangi iki eleman arasında yine kümeden bir eleman bulunamaz. Bu nedenle C kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
✅ Sonuç: Hiçbiri arada olma özelliğine sahip değildir.
