Soru:
\( L = \{ x \in \mathbb{R} \mid x = 0 \ \text{veya} \ x = 1 \} \) ve \( M = (0, 1) \) (açık aralık) kümeleri veriliyor. Bu kümelerin arada olma özelliğini inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Her bir küme için tanımı hatırlayalım: Her \( a, b \in K \) (\( a < b \)) için, \( a < c < b \) olacak şekilde bir \( c \in K \) elemanı bulunmalı.
- ➡️ L Kümesi: \( L = \{0, 1\} \). Kümede 0 ve 1 olmak üzere sadece iki eleman vardır. \( a = 0 \) ve \( b = 1 \) alırsak, \( 0 < c < 1 \) koşulunu sağlayan bir \( c \) elemanı L kümesinde yoktur. Bu nedenle L kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
- ➡️ M Kümesi: \( M = (0, 1) \). Bu, 0'dan 1'e kadar olan ancak 0 ve 1'i içermeyen tüm reel sayıların kümesidir. Reel sayılar kümesi arada olma özelliğine sahip olduğundan, herhangi iki reel sayı arasında başka bir reel sayı bulunabilir. M kümesi bir reel sayı aralığı olduğu için, kümeden alınan herhangi iki farklı \( a \) ve \( b \) sayısı için (\( a < b \)), her zaman \( a < \frac{a+b}{2} < b \) koşulunu sağlayan bir \( c = \frac{a+b}{2} \) sayısı M kümesinin içindedir (çünkü \( \frac{a+b}{2} \) de 0 ile 1 arasındadır).
✅ Sonuç: L kümesi sahip değilken, M kümesi arada olma özelliğine sahiptir.
