Soru:
Bir \( T \) kümesi, \( T = \{ \sqrt{2} + q \mid q \in \mathbb{Q} \} \) şeklinde tanımlanıyor. Bu küme arada olma özelliğine sahip midir? Gösteriniz.
Çözüm:
💡 Bu küme, rasyonel sayılar kümesinin \( \sqrt{2} \) kadar ötelenmiş halidir. Yani her eleman bir rasyonel sayı ile \( \sqrt{2} \)'nin toplamıdır.
- ➡️ Kümeden herhangi iki farklı eleman alalım: \( a = \sqrt{2} + q_1 \) ve \( b = \sqrt{2} + q_2 \), burada \( q_1, q_2 \in \mathbb{Q} \) ve \( q_1 \neq q_2 \). Genelliği bozmadan \( q_1 < q_2 \) olduğunu varsayalım, böylece \( a < b \) olur.
- ➡️ Amacımız, \( a < c < b \) olacak şekilde bir \( c \in T \) elemanı bulmaktır. \( c \) de \( T \) kümesinde olduğuna göre, \( c = \sqrt{2} + r \) şeklinde yazılabilir (\( r \in \mathbb{Q} \)).
- ➡️ Eşitsizliği yerine koyalım: \( \sqrt{2} + q_1 < \sqrt{2} + r < \sqrt{2} + q_2 \). Her taraftan \( \sqrt{2} \) çıkarırsak: \( q_1 < r < q_2 \) elde ederiz.
- ➡️ \( q_1 \) ve \( q_2 \) rasyonel sayılar ve \( q_1 < q_2 \) olduğundan, bu iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta başka rasyonel sayı (örneğin \( r = \frac{q_1 + q_2}{2} \)) vardır. Demek ki böyle bir \( r \) rasyonel sayısı kesinlikle vardır.
- ➡️ Bu \( r \) sayısı için \( c = \sqrt{2} + r \) elemanı \( T \) kümesindedir ve \( a < c < b \) koşulunu sağlar.
✅ Sonuç: \( T \) kümesinin herhangi iki elemanı arasında daima kümeden bir eleman bulunabildiği için, bu küme arada olma özelliğine sahiptir.
